¿Encuentra la gama de la expresión dada?

Question

Si p , q , r denota el lado del triángulo ,entonces la siguiente expresión siempre se encuentra entre?

$$\left(\frac{p}{q+r}\right) + \left(\frac{r}{q+p}\right) + \left(\frac{q}{p+r}\right) $$

Traté de resolverlo mediante la propiedad de que la suma de la longitud de 2 lados de un triángulo es siempre mayor que 3 de lado. Así

p+q > r

q+r > p

r+q >p

Así, la expresión debe ser menor que 3.

Pero la respuesta en el libro es : Rango : de 1,5 a 2. Gracias de antemano.

Answer 1

Hay dos desigualdades de probar. Es bastante fácil, el otro menos.

Deje $s$ ser la mitad del perímetro. Por la Desigualdad de Triángulo, todos de $q+r$, $p+r$, y $p+q$$> s$. De ello se sigue que $$\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}+\frac{r}{p+q}<\frac{p}{s}+\frac{q}{s}+\frac{r}{s}=\frac{2s}{s}=2.$$

La otra desigualdad es del concurso material. Puede ser derivado de varias otras concurso popular de las desigualdades, tales como la Reorganización de la Desigualdad, o la Desigualdad de Chebyshev, incluso AM/GM, incluso menos. Esta desigualdad se cumple para todos los positivos $p$, $q$, y $r$. Nos dará un bastante mínima, pero difícil prueba. Nuestros suma puede ser escrito como $$\frac{2p+2q+2r}{2q+2r}+\frac{2p+2q+2r}{2r+2p}+\frac{2p+2q+2r}{2p+2q}-3.$$ Este es
$$\frac{1}{2}\left(1+\frac{p+q}{q+r}+\frac{r+p}{q+r}+1+\frac{q+r}{r+p} +\frac{p+q}{r+p}+1+\frac{r+p}{p+q}+\frac{q+r}{p+q}\right)-3.$$ Grupo de términos como se muestra a continuación: $$\frac{1}{2}\left(3+\left(\frac{p+q}{q+r}+\frac{q+r}{p+q}\right) + \left(\frac{q+r}{r+p}+\frac{r+p}{q+r}\right)+\left(\frac{r+p}{p+q}+\frac{p+q}{r+p}\right)\right)-3.$$ Recordar que si $t$ es positivo,$t+1/t\ge 2$. Esto puede ser probado de varias maneras, tales como señalar que ese $(\sqrt{t}-1/\sqrt{t})^2 \ge 0$. Cada uno de nuestros tres grupos de arriba es de la forma $t+1/t$. Llegamos a la conclusión de que nuestra expresión original es $\ge (1/2)(3+6)-3$,$3/2$.

Tenga en cuenta que el límite superior de $2$ no se puede lograr con un auténtico triángulo, a pesar de que pueden ser arbitrariamente cerca. El límite inferior se logra en la equilátero caso.

Answer 2

La expresión puede simplificarse de otra manera como se muestra, $$\frac{p}{q+r}+\frac{r}{q+p}+\frac{q}{p+r}$ $

$$(\frac{p}{q+r}+1)+(\frac{r}{q+p}+1)+(\frac{q}{p+r}+1) - 3$$

$$(p+q+r)({\frac{1}{q+r}+\frac{1}{q+p}+\frac{1}{p+r}})-3$$

$$\frac{1}{2}(\frac{q+r}{1}+\frac{q+p}{1}+\frac{p+r}{1})({\frac{1}{q+r}+\frac{1}{q+p}+\frac{1}{p+r}})-3$$

Aplicación de aritmética superior a la media armónica desigualdad obtenemos

$$(\frac{q+r}{1}+\frac{q+p}{1}+\frac{p+r}{1})({\frac{1}{q+r}+\frac{1}{q+p}+\frac{1}{p+r}})>9$$

Por lo tanto,

$$\frac{p}{q+r}+\frac{r}{q+p}+\frac{q}{p+r}>\frac{9}{2}-3$$

$$\frac{p}{q+r}+\frac{r}{q+p}+\frac{q}{p+r}>\frac{3}{2}$$

Para el límite inferior como Andre señala en la respuesta anterior consideramos el caso de un triángulo equilátero, para obtener,

$$\frac{3}{2}<\frac{p}{q+r}+\frac{r}{q+p}+\frac{q}{p+r}<2$$