$f$ es una función continua positiva en $[0,1]$.

Question

$f$ es una función continua positiva en $[0,1]$. Definir $$\int_{0}^{a_n} f(x) dx = \frac{1}{n} \int_{0}^1 f(x) dx$ $ donde $a_n>0$. Encontrar $ \lim_{n\to \infty} n a_n$.

Está claro que $lim_{n\to \infty} a_n =0$ porque $f(x)$de % es positivo. He probado a utilizar polinomios de aproximación de Weierstrass de función continua pero podría no bastante conseguir la forma correcta. No veo una manera de reducir esta ecuación $\int_{0}^{a_n} f(x) dx = \frac{1}{n} \int_{0}^1 f(x) dx$ $n a_n$.

Este es un problema de calificación de análisis real. Pequeña sugerencia funciona para mí.

Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Llame a $F$ una primitiva de $f$; por lo tanto su relación yelds a F(a_n)-F(0)=\frac1n[F(1)-F(0) $$] $$

Answer 2

SUGERENCIA:

Encontrar el límite

$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{a_n}\int_{0}^{a_n}\,f(x)\,dx\right)$$

ALERTA de SPOILER: DESPLÁCESE PARA VER RESPUESTA

$$\begin{align}\lim_{n\to \infty}n\,a_n&=\lim_{n\to \infty}n\,a_n\frac{\int_0^{a_n}f(x)dx}{\int_0^{a_n}f(x)dx}\\\\&=\lim_{n\to \infty}\frac{n\,\int_0^{a_n}f(x)dx}{\frac{1}{a_n}\int_0^{a_n}f(x)dx}\\\\&=\lim_{n\to \infty}\frac{\int_0^{1}f(x)dx}{\frac{1}{a_n}\int_0^{a_n}f(x)dx}\\\\&=\frac{1}{f(0)}\int_0^{1}f(x)dx\end{align}$$

Answer 3

Que $u = nx \to du = ndx \to \dfrac{1}{n}\displaystyle \int_{0}^1f(x)dx= \displaystyle \int_{0}^{a_n} f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^{na_n} f\left(\dfrac{u}{n}\right)\left(\dfrac{1}{n}du\right)=\dfrac{1}{n}\displaystyle \int_{0}^{na_n} f\left(\dfrac{u}{n}\right)du\Rightarrow \displaystyle \int_{0}^1 f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^{na_n} f\left(\dfrac{u}{n}\right)du$. Ahora que $L = \displaystyle \lim_{n\to\infty} na_n$ y observar debido a la continuidad de $f$ $x = 0$, $\displaystyle \lim_{n\to \infty} f\left(\dfrac{u}{n}\right) = f(0)$, tenemos: $\displaystyle \int_{0}^1 f(x)dx = \displaystyle \int_{0}^L f(0)du = Lf(0) \to L = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^1 f(x)dx}{f(0)}$

Answer 4

Que $F(x)=\int_0^x f(y) dy$. Entonces $F$ es una función estrictamente creciente satisfacción $F(a_n)=\frac{1}{n} F(1)$. Esto significa que el $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Por lo tanto, $F(a_n)=f(0) a_n + o(a_n)$ (que es lo que da a la FTC) es una aproximación útil. Por lo tanto

$$f(0) a_n + o(a_n) = \frac{1}{n} F(1) \Rightarrow n a_n = \frac{F(1)}{f(0)} + o(n a_n).$$

Hacia el término del error del otro lado:

$$(1+o(1)) n a_n = \frac{F(1)}{f(0)}.$$

Tomar límite en ambos lados:

$$\lim_{n \to \infty} n a_n = \frac{F(1)}{f(0)}.$$

Answer 5

Sugerencia: Puede considerar el límite de $$ \frac{1}{a_n} \int_0^{a_n} f(x) \mathrm d x = \frac{1}{a_n n} \int_0^1 f(x) \mathrm d x $ $ y uso $a_n\to 0$ $n\to\infty$.

Ya que $f$ es positiva y continua, tenemos $\frac{1}{a_n} \int_0^{a_n} f(x) \mathrm d x > 0$ y por el Teorema fundamental del cálculo tenemos $$ \lim_{n\to\infty} n a_n = \frac{\int_0^1 f (x) \mathrm f x} {\lim_ {n\to\infty} \frac {1} {a_n} \int_0^{a_n} f (x) \mathrm f x} = \frac{\int_0^1 f (x) \mathrm x}{f(0) d}. $$