Estoy tratando de demostrar que $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\cup_{n \geq 1}\mu_n)/\mathbb{Q}) \cong \widehat{\mathbb{Z}}^\times = (\varprojlim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}))^\times$ donde $\varprojlim$ denota la inversa límite a medida que n aumenta (con $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ parcialmente ordenado por la divisibilidad) y $\mu_n$ denota el conjunto de $n^{th}$ raíces de la unidad.
He logrado demostrar que $\widehat{\mathbb{Z}} \cong \prod_{p} \mathbb{Z}_p$ donde $\mathbb{Z}_p$ indica el p-ádico enteros (equivalentemente, $\mathbb{Z}_p = \varprojlim_{\,n} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} $ ), y el producto se ejecuta sobre todos los números primos. Sin embargo, aunque sospecho que esto podría ser la manera más fácil de averiguar el isomorfismo entre el grupo de Galois y $\widehat{\mathbb{Z}}^\times$, yo no puedo parecer para formalizar mi argumento.
Obviamente cualquier elemento del grupo de Galois debe arreglar $\mathbb{Q}$ y enviar $n^{th}$ raíces de la unidad a $n^{th}$ raíces de la unidad; podemos escribir un elemento general de la $\mathbb{Q}(\cup_{n \geq 1}\mu_n)/\mathbb{Q}$ como una suma de elementos de $\mu_1,\,\mu_2,\,\mu_3$ etc., pero hay que tener cuidado de mantener en mente el hecho de que cualquier elemento de a $\mu_m$ es un elemento de $\mu_n$ al $m \, | \, n$. Supongo que hay alguna forma inteligente de trabajar solo con los números primos y el primer poderes al tratar con las cosas de la forma$e^{2 \pi i k / n} \in \mu_n$, lo que nos lleva a la necesaria isomorfismo, pero no puedo detectar cómo llegar al resultado que quiero. Frío que alguien me ayude con el acabado fuera de mi prueba, por favor?
