Convergencia de una serie de productos con uno de los factores divergente

Question

Actualmente estoy luchando con el siguiente problema:

Deje $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ ser una serie convergente con $a_k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Entonces hay siempre una secuencia $\{b_k\}$ de los números reales con a $\displaystyle \lim_{k \to \infty} b_k = \infty$ tal que la serie $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k$ convergen todavía?

Mi intuición de curso dice que hay, como debe ser siempre capaz de encontrar alguna secuencia que aumenta "mucho más lento" de $a_k$ disminuye. Pero, ¿cómo he estado esta vaga noción más precisa y demostrar mi conjetura? Pensé en la elección de $b_k := -\log a_k$ o algo, pero que no se puede sostener en todos los casos posibles, ¿no es así?

Podrías dar alguna pista, por favor?

Answer 1

Gracias a Thomas y Robert:

Supongamos $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Elija un número positivo $\alpha$, de modo que $$\tag{1}\left|\,\sum\limits_{n=1}^m a_n\,\right|\le \alpha$$ for all positive integers $m$.

Set $$S_1=\sum_{n=1}^\infty\, \alpha a_n.$$

$S_1$ es convergente, por lo que podemos, y lo haces, elige $n_1$, de modo que para todos los $l\ge m\ge n_1$ $$\etiqueta{2} \Bigl|\,\sum_{n=m}^l a_i\,\Bigr|\le {1\over 2^2(\alpha+1)} .$$

Conjunto $$S_2=\underbrace{\sum_{n=1}^{n_1-1} \alpha a_n}_{D_1} + \sum_{n=n_1}^{\infty} (\alpha+1) a_n .$$ Tenga en cuenta que por (1), $\left| \, \sum\limits_{n=1}^{m} \alpha a_n\,\right| \le \alpha$ todos los $m\le n_1-1$.

Ahora elija $n_2>n_1$, de modo que para todos los $l\ge m\ge n_2$ $$\left|\,\sum_{n=m}^l a_i\,\right|\le {1\over 2^3(\alpha+2)} .$$

Conjunto $$S_3=\sum_{n=1}^{n_1-1} \alpha a_n + \underbrace{\sum_{n=n_1}^{n_2-1} (\alpha+1) a_n }_{D_2} + \sum_{n=n_2}^{\infty} (\alpha+2) a_n .$$

Tenga en cuenta que, por (2), $\Bigl|\,\sum\limits_{n=n_1}^{m} (\alpha+1) a_n \,\Bigr|\le {1\over 2^2}$ todos los $m\le n_2-1$.

Continuando en el obvio manera, definimos enteros $n_3<n_4<\cdots\,$ y sumas $$D_k=\sum\limits_{n=n_{k-1}}^{n_k-1} (\alpha+k-1)a_n$$ satisfactoria $$\etiqueta{4}\left|\,\sum_{n= n_{k-1}}^{ m}(\alpha+k-1)a_n\,\right|\le {1\over 2^k}$$ para todos los $m\le n_k-1$.

Tenga en cuenta la suma $$S=D_1+D_2+D_3+\cdots.$$ Tenemos, por la desigualdad de triángulo, que $$\eqalign{ |D_n+D_{n+1}+\cdots+ D_m|&\le {1\over 2^n} +{1\over 2^{n+1}} +\cdots+{1\over 2^m} \cr &\le {1\over 2^{n-1} } \cr &\buildrel{n \rightarrow\infty}\over{\longrightarrow }\ 0,}$$ para todos los de $m\ge n>1$.

A partir de este y (4), se desprende que $S$ converge.