Convencer a otros que el método de encontrar la función inversa es válido

Question

El método de encontrar la inversa de una función simple $y = f(x)$ implica los siguientes pasos:-

1) cambie al tema a $x$ $y$.

2) intercambio $x$ y $y$.

3) la función recién formada ($y = g(x)$, decir) es la inversa de la requerida.

Sabemos que el método funciona pero ¿por qué funciona? ¿Mi pregunta es cómo convencer a los demás que la parte de intercambio de lo anterior puede hacer la magia y es lógicamente sonida? Una prueba sería aún mejor.

Answer 1

Suponga que usted tiene $y=f(x)$. Si cambiar de tema a $x$ y desea hacerlo solo, lo que hace es encontrar una función $g$ tal que $g(f(x)) = x$. Para mantener la igualdad entonces vemos que el $g(y) = g(f(x)) = x$.

Answer 2

$g(x)$ es el inverso del $f(x)$ si satisface $x=f(g(x))$ y $x=g(f(x))$.

En la base del $x=f(g(x))$ vamos buscando $g(x)$.

Primero nos abreviar $g(x)$ $y$.

Ahora vamos a buscar $y$ en la base de la ecuación de $x=f(y)$.

Answer 3

Yo tenía un (aparentemente de la onu-matemático) método práctico.

Croquis $ y = f(x) $ sobre una hoja de plástico transparente utilizado para las proyecciones, los bordes de servir como x - y y - ejes. Voltee la hoja intercambiar x y y a lo largo de la rigidez de la curva y ver. Es tan convincente.. no se harán preguntas...

EDIT 1:

... como la operación se hace visiblemente evidente, de modo que en cada punto se puede comprobar :

1) x e y son intercambiados

2) la pendiente es la inversa del ahora, no hay cambio de signo $ \dfrac{dy}{dx} \rightarrow \dfrac{dx}{dy} $

3) la curvatura en cualquier punto es invariante salvo cambio de signo, y ello puede ser explicado por los diferenciales de

$$ \frac{d^2y/dx^2}{(1+y'^{2})^{3/2}} \rightarrow \frac{-d^2x/dy^2}{(1+x'^{2})^{3/2}} $$

4) incluso de orden superior isométrica invariantes se conservan

4) uno de los más vuelta y usted están de vuelta; cualquier doble transformación anula, es decir, la inversa de una función inversa le da la función de arranque.