Si usted calcular la probabilidad de la amplitud de un libre 1D no-relativista de la partícula con masa $m$, que se encuentra en la posición $x_0$ tiempo $t_0$, para hacer detectado en algún otro punto de $x_N$ tiempo $t_N$ usted encontrará que es dado por $$ \mathcal{M} = \left\langle x_N \right| \text{e}^{-\frac{\text{i}}{\manejadores} \frac{P^2}{2m}(t_N-t_0)}\left| x_0\right\rangle =\left(\frac{m}{2\pi\text{i}\manejadores\ (t_N-t_0)}\right)^{1/2} \text{e}^{\frac{\text{i}}{\manejadores}\frac{m}{2}\frac{(x_N-x_0)^2}{t_N-t_0}} $$ Ahora, si me calcular el correspondiente probabilidad(densidad) de acuerdo a $$ P = \left|\mathcal{M}\right|^2 = \mathcal{M} \mathcal{M}^* = \frac{m}{2\pi\manejadores\ (t_N-t_0)} $$ de alguna manera me parece que no depende de la distancia $(x_N-x_0)$ a todos. ¿Significa esto, que la probabilidad de detección de la partícula es el MISMO en todas partes? Yo esperaba algo como la inicial (es decir,$t_N \rightarrow t_0$) función delta "derritiendo" como un paquete de ondas Gaussiano... ¿alguien Puede decirme cual es la correcta interpretación de $P$ debe ser?
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¿Significa esto, que la probabilidad de detección de la partícula es el MISMO en todas partes?
No, no. Este es un error común, derivada de la idea de que la función de Green $\mathcal{M}$ puede ser utilizado en el papel de la $\psi$ la función de la partícula libre con la que Nace de la interpretación de $|\psi|^2$ de densidad de probabilidad. Pero eso no es posible, ya que $\mathcal{M}$ no es normalizable.
La cantidad de $\mathcal{M}$ es simplemente la función de Green del tiempo-dependiente de la ecuación de Schroedinger para la partícula libre. Puede ser utilizado para expresar $\psi$ la función de la partícula en el tiempo $t$ $$ \psi(x,t) = \int \mathcal{M}(x,t;x_0, t_0) \psi_0(x_0,t_0) dx_0 $$ donde $\psi_0(x_0,t_0)$ está normalizado inicial $\psi$ función en el tiempo $t_0$.
Feynman propagador/kernel/amplitud es, como OP escribe,
$$ \tag{1} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle~=~ \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right], $$
donde$\Delta x:=x_f-x_i$$\Delta t:=t_f-t_i > 0$. Se entiende implícito en la ecuación. (1), que se debe realizar la Feynman $i\epsilon$ receta. Más precisamente, uno debe sustituir a $\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$, es decir, el $\Delta t\in\mathbb{C}$ en eq. (1) en realidad está situada justo debajo del eje real en el complejo de $\Delta t$ plano. Esta $i\epsilon$ receta se asegura de que el propagador (1) se convierte en un delta de Dirac distribución en el corto plazo:
$$ \tag{2} \langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+}.$$
Como se explica en la Ref. 1 no hay absoluta de la noción de probabilidad, ya que la posición del espacio no es compacto, pero hay una relativa noción de probabilidad. La probabilidad relativa de distribución en la posición del espacio se convierte en uniforme
$$ P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|\langle x_f ,t_f | x_i ,t_i \rangle|^2~=~\frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\sqrt{(\Delta t)^2+\epsilon^2}}\exp\left[ -\frac{m\epsilon}{\hbar}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2\right]$$ $$ \tag{3} \longrightarrow~ \frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\Delta t}\quad \text{for} \quad \epsilon \to 0^{+}.$$
Físicamente, esto puede ser entendido como que la correspondiente relación de distribución de probabilidad en el momento que el espacio es uniforme. Reescribirse de manera diferente, una posición eigenstate es una superposición de todos impulso autoestados, y resulta que la partícula puede estar cerca o de lejos con la misma densidad de probabilidad.
Para más información sobre la normalización de la ruta integral, véase, por ejemplo, este Phys.SE post y los enlaces en el mismo.
Referencias:
- R. P. Feynman y A. R. Hibbs, la Mecánica Cuántica y la Ruta de acceso Integrales, 1965, Problema 3.1.
