¿Hay algo profundo sobre los conjuntos difusos/lógica difusa?

Question

No paro de encontrarme con el término "borroso". He navegado un poco y he leído algunos artículos.. Me parece que no hay absolutamente nada profundo o fundacional sobre la teoría de conjuntos difusos o la lógica difusa. Sé que son útiles en la práctica en la robótica, ..etc. pero como hay mucho rumor en torno a ellas, me lleva a pensar que puede haber algo profundo que yo no veo.

Me doy cuenta de que mi pregunta es quizás vaga o "no constructiva", entendería que se cerrara por ese motivo.

Answer 1

Cuando pienso en la "lógica difusa" lo primero que me viene a la mente es la ingeniería, donde se utiliza en sistemas de control y en el tratamiento de la información. Por ejemplo, la "lógica difusa" se utiliza en los sistemas de control de las lavadoras. Creo que fue un tema candente en los años 80 y 90, y un artículo de esa época es " Diseñar con lógica difusa " por Kevin Self de la revista IEEE Spectrum en 1990.

Mi opinión como lógico es que la "lógica difusa" por sí mismo no ha desarrollado un interés significativo en la lógica matemática para el estudio de los fundamentos de las matemáticas. No he visto ningún ejemplo de aplicaciones "profundas" de la lógica difusa a cuestiones fundacionales clásicas. Una de las razones por las que será difícil desarrollar implicaciones fundacionales profundas de la lógica difusa es que gran parte del trabajo en fundamentos está motivado por unas pocas estructuras estándar (ignorando cualquier objeción filosófica): los números naturales, los números reales, la jerarquía acumulativa de conjuntos. Estas no se conciben normalmente como estructuras "difusas".

A título personal, yo no utilizaría el término "lógica difusa" para referirme a la lógica multivaluada en general, y creo que es algo ahistórico referirse al trabajo de Łukasiewicz como "lógica difusa". Sin embargo, otros utilizan la "lógica difusa" de forma más amplia, y existe un libro de Hájek titulado "Metamathematics of Fuzzy Logic", por lo que mi opinión dista de ser universal.

Nada de esto significa que la lógica difusa carezca de valor, por supuesto. Evidentemente, es de gran interés para el tratamiento de la información, la teoría del control y la ingeniería, donde sí puede tener aspectos profundos.

La introducción a la Artículo de la Enciclopedia Stanford de Filosofía sobre la lógica difusa también comenta algunas de estas cuestiones. En esa terminología, aparentemente estoy hablando de "lógica difusa en sentido amplio".

Answer 2

Conozco a bastantes matemáticos que afirman que la "lógica formal" (en el sentido de lógica matemática) no tiene nada de profundo: creen que es una pérdida de tiempo dedicar tanto tiempo a formalizar un problema. Lo que estas personas no se dan cuenta es que lo interesante de la lógica no es el proceso de formalización, lo realmente interesante es el razonamiento metamatemático que podemos hacer una vez que un problema está formalizado. Ejemplos particulares de resultados útiles relativos a la metamatemática son: el teorema de compacidad, los teoremas de Löwenheim-Skolem, el teorema de completitud, los teoremas de incompletitud, etc.

Mi interpretación sobre tu pregunta es que compartes los mismos prejuicios que he explicado anteriormente, pero hacia la lógica difusa en lugar de la lógica. Así pues, permíteme señalar que lo interesante de la lógica difusa, al menos para mí, no es el proceso de formalización mediante conjuntos difusos (estoy de acuerdo en que no merece la pena dedicarle tiempo), sino la metamatemática que puede desarrollarse en torno a esta semántica alternativa. Para enfatizar esta distinción algunas personas han acuñado el término "lógica difusa matemática" (puedes encontrar muchos más detalles en el enlace http://www.mathfuzzlog.org/index.php/Mathematical_Fuzzy_Logic y las referencias que contiene).

Permítanme resumir algunas afirmaciones sobre la lógica difusa en este sentido metamatemático:

1. La lógica de primer orden que utiliza una semántica de Lukasiewicz de valor infinito (es una elección natural de conectivas) no es axiomatizable recursivamente, de hecho es $\Pi_2^0$ -completa. La primera parte fue demostrada por Bruno Scarpellini, y la segunda por Mathias Ragaz. Otras opciones de interpretación de las conectivas dan situaciones diferentes (por ejemplo, utilizando lo que se llama "lógica de producto" se obtiene un conjunto no aritmético de validaciones, etc.).

2. El axioma de comprensión es consistente en caso de que restrinja sus reglas lógicas de la lógica clásica a la lógica difusa de Lukasiewicz. Por lo tanto, un enfoque alternativo a la restricción del axioma de comprensión (este es el método utilizado en ZFC) consiste en restringir las reglas lógicas. Para profundizar un poco más en este tema, consulte https://mathoverflow.net/questions/86151/boolean-valued-models-vs-the-infinite-valued-logic-of-lukasiewicz-and-set-theory

3. Por último, permítanme señalar que si bien se sabe que la aritmética de Peano no puede expandirse consistentemente con un predicado de verdad, esto no está tan claro en caso de que se permita que el predicado de verdad sea difuso. Desgraciadamente, la situación es la misma que en la lógica clásica, pero la prueba es más complicada que la dada para la lógica clásica. Puede encontrar los detalles de esto en el documento http://www.jstor.org/stable/2586541 publicado en Journal of Symbolic Logic (véase también http://www.logicmatters.net/2010/05/curry-lukasiewicz-and-field ).

Answer 3

Esto es lo que su servidor respondió en un pregunta relacionada en MathOverflow:

La teoría de la medida difusa tiene aplicaciones en la teoría de la medida pura. El teorema de la capacidad de Choquet es una herramienta estándar para mostrar la universal de conjuntos analíticos. El teoría de las capacidades (o medidas difusas) está bastante bien desarrollado y muy relacionado con el análisis "normal".

La teoría de las capacidades no se creó en el contexto de la matemática difusa pero M. Sugeno desarrolló una forma de integración difusa en su tesis doctoral que comparte muchas similitudes formales con la integral de Choquet integral de Choquet y algunos trabajos sobre la integral de Sugeno se trasladaron a la integral de Choquet.

En el libro se ofrece una introducción bastante extensa a estos temas Teoría de la medida generalizada por Wang y Klir.

Answer 4

No estoy seguro de lo que quiere decir con "profundo". Sin embargo, creo que te parecerá razonable postular que si algo lleva a la creación o expansión de nuevas matemáticas, entonces parece razonable pensar que es profundo en algún sentido. Pues bien, puede decirse que la teoría de conjuntos difusos ha conducido a la creación de nuevas ramas de la teoría de grupos (y otras ramas del álgebra abstracta), la topología, el cálculo diferencial, la aritmética, la geometría, la trigonometría, la teoría de grafos, etc., véase aquí y aquí para las fuentes potenciales. Además, existe teoría de la posibilidad y teoría de la medida generalizada donde los conjuntos difusos suelen aparecer en algún momento de una forma u otra. Esto, por supuesto, no es un argumento para que te guste la teoría de los conjuntos difusos, ni un argumento para que te disguste la teoría de los conjuntos difusos, del mismo modo que si lees a suficientes filósofos casi seguro que encontrarás a alguien extremadamente profundo que te desagrade intensamente.