Transformación de Lorentz del Campo Espinorial

Question

Estoy leyendo el capítulo 3 de Peskin y Schroeder y estoy atascado en la página 43 de P&S. Ellos han definido los generadores de Lorentz en la representación de espinor como:
\begin{equation} S^{\mu \nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu] \end{equation> tal que una transformación finita está dada por:
\begin{equation} \Lambda_{1/2}=e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} S^{\mu \nu}} \end{equation> donde $\gamma^\mu$ son las matrices gamma y $\omega_{\mu \nu}$ son los elementos de una matriz real y antisimétrica. De acuerdo con P&S en la página 43 (entre las ecuaciones (3.32) y (3.33), dicen que el adjunto de un espinor de Dirac se transforma de la siguiente manera:
\begin{equation> \psi^\dagger \rightarrow \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}(S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{equation> Sin embargo, yo esperaría que la transformación fuera:
\begin{equation> \begin{aligned> \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \ \ & = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \ \ & = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned> donde en la última línea hice uso del hecho de que $\omega$ es una matriz real y antisimétrica:
\begin{equation> (\omega_{\mu \nu})^\dagger = (\omega_{\mu \nu})^T = \omega_{\nu \mu} = - \omega_{\mu \nu} Esto implica que según mis cálculos, la ecuación (3.33) de P&S debería ser realmente:
\begin{equation> \overline{\psi} \rightarrow \overline{\psi} \Lambda_{1/2} Esta ecuación debe estar equivocada porque significa que $\overline{\psi} \psi$ no se transforma como un escalar y por lo tanto el Lagrangiano de Dirac no es correcto. Sin embargo, no sé dónde está mi error y esperaba que alguien pudiera ayudarme?

Answer 1

El error que estás cometiendo es "daggering" en el objeto $\omega_{\mu\nu}$. Para cada $\mu, \nu = 0, \dots 3$, el símbolo $\omega_{\mu\nu}$ es un número real, por lo que su dagger (que en este caso es simplemente la conjugación compleja) no hace nada; $(\omega_{\mu\nu})^\dagger = \omega_{\mu\nu}$.

Cuando decimos que $\omega_{\mu\nu}$ es una matriz real antisimétrica, realmente queremos decir que la matriz con estos números como componentes es tal matriz, no que $\omega_{\mu\nu}$ sea una matriz para cada $\mu$ y $\nu.

Answer 2

El último paso que realizaste es incorrecto. $$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$$ $\omega$ es real, lo que simplemente significa que $$\begin{equation} (\omega_{\mu \nu})^\dagger = \omega_{\mu \nu} \end{equation}$$ Entonces tenemos $$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$$ Para encontrar la invariancia de Lorentz de $\bar\psi\psi$ te falta $\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$. Cuando este $\gamma^0$ pasa a través de $S^{\mu\nu}$, resuelve el problema. Soluciónalo y compártelo nuevamente con nosotros.