¿Son grupoides de estructuras más que conjuntos de grupos?

Question

Esto ha me ha estado molestando desde hace bastante tiempo: Mi intuición con las categorías es, que simplemente puedo identificar isomorfo objetos. Lo hace, por ejemplo, no importa, si las entradas en un sudoku son los números de $1,2,\dots,9$ o cartas de $a,b,\dots,i$ (esta muestra, que simplemente puede identificar conjuntos isomorfos).

He oído groupoids son importantes objetos, posiblemente incluso más fundamental, a continuación, las categorías (incluso he tratado con anterioridad). Pero esto parece contradecir a mi intuición, para que usted podría mentalmente identificar isomorfo objetos en un groupoid y terminar con un conjunto de grupos. Tiene que haber algo mal con este punto de vista y supongo que tiene que ver con el hecho, que por lo general existen muchos isomorphisms entre isomorfo objetos (es bien sabido, álgebra lineal, que las decisiones de las bases de la "materia"). Me doy cuenta de que este es un muy impreciso pregunta, pero:

¿Cómo puedo pensar acerca de groupoids, que no son más que interesantes o más rico en estructura que sólo conjuntos de grupos?

Answer 1

La primera respuesta corta es que en el fin de identificar un groupoid con un conjunto de grupos, usted necesita escoger un punto de base en cada uno de los componentes conectados (en más categóricos términos, un representante de cada uno de isomorfismo de clase), y hay varias situaciones en las que usted no desea (análoga a la de por qué, a menudo, usted no quiere elegir bases de espacios vectoriales).

La segunda respuesta corta es que hay muchas razones para considerar que groupoids con extra de estructura, que puede ser mucho más interesante que los conjuntos de los grupos con más estructura.

Este es un ejemplo donde ambas de estas consideraciones se aplican. Supongamos que un grupo de $G$ actúa en un espacio de $X$. ¿Esta inducir a una acción en el grupo fundamental? La respuesta es no: con el fin de obtener una acción de ese tipo, $G$ debe fijar un punto de referencia $X$. Pero puede suceder que $G$ correcciones de ningún punto de base (incluso en un homotopical sentido). Sin embargo, $G$ va a actuar siempre en la fundamental groupoid de $X$.

Por ejemplo, supongamos $X$ ser el espacio de configuración de $n$ ordenado puntos en $\mathbb{R}^2$. Este espacio tiene grupo fundamental de la pura trenza grupo $P_n$, que se sitúa en una breve secuencia exacta

$$1 \to P_n \to B_n \to S_n \to 1$$

donde $B_n$, la de la trenza del grupo, es el grupo fundamental del espacio de configuración de $n$ desordenada puntos. Ahora, es claro que $S_n$ actúa en $X$ por permuting puntos. Pero esta acción no se puede actualizar a una acción en $P_n$, porque el anterior corto secuencia exacta no dividir.

Este no es un ejemplo aislado. Es parte de la razón por la $E_2$ operad puede ser descrito como un operad en groupoids, pero no como un operad en grupos, aunque los espacios (homotopy equivalente a la configuración de los espacios de arriba) son todos Eilenberg-MacLane espacios.

Hay un montón de otras cosas que decir aquí. Por ejemplo, groupoids formar un 2-categoría, groupoids son cartesiana cerrada, topológico groupoids son más ricos que topológicos, grupos... y la lista sigue y sigue. Aquí es un poco críptico lema:

Realmente no se puede identificar isomorfo objetos. El espacio de los objetos isomorfo a un objeto fijo $X$ no es un punto, es la clasificación de espacio $B \text{Aut}(X)$.