Topología de ejercicio. Cociente De Espacio

Question

He encontrado este ejercicio no soy capaz de resolver.

EJERCICIO : Vamos a llamar a $X$ el espacio topológico obtenidos quotienting $\mathbb{R}^{n}$ por la relación de equivalencia $\sim$ :

$x\sim y \Leftrightarrow x=y$ o $||x||=||y||$ o $||x||\cdot ||y||=1$.

Es $X$ un espacio de Hausdorff ($T2$)?? Es $X$ compact?? Alguien me puede ayudar?

La única idea que yo tenía es éste, pero yo tenía un montón de dudas acerca de su veracidad.. El uso de hyperspherical coordenadas (http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Hyperspherical_coordinates) puedo decir que $\mathbb{R}^{n}$ es omeomorph a $\mathbb{R}\times \left[ {0,\pi } \right] \times \cdots \times \left[ {0,\pi } \right] \times \left[ {0,2\pi } \right[$ ??? Y si eso era cierto, con el hecho de que $\sim$ sólo actúan en la norma y no en los ángulos, puedo decir que $\mathbb{R}^{n}/\sim {\rm{ }} = \left( {\mathbb{R}\times \left[ {0,\pi } \right] \times \cdots \times \left[ {0,\pi } \right] \times \left[ {0,2\pi } \right[} \right)/\sim {\rm{ }} = \mathbb{R}/\sim$ ??? Gracias de antemano.

Answer 1

Me imagino que este espacio como este: identificar todos los elementos con la misma norma, por lo que las órbitas son las esferas. Además, identificar los elementos de la norma $k$ con los elementos de la norma $1/k$, por lo tanto se puede considerar sólo con esferas de radio $\leq 1$.

Denotar por $\pi$ la proyección canónica $x \mapsto [x]$ donde $[x]$ es la clase de equivalencia de a $x$.

Pick $x,y$ dos puntos diferentes en $X$. A continuación,$\|x\|\neq \|y\|$$\|x\|\|y\|\neq 1$. Ahora es suficiente para encontrar dos barrios $U,V$$x,y$, respectivamente, tal que $\pi(U) \cap \pi(V)=\emptyset$. Usted puede considerar la posibilidad de $U,V$ a abrir bolas de cuidadosamente elegido de los radios. Hay dos casos de estudio: cuando ambos $\|x\|,\|y\|$ están en el mismo lado de la $1$, y, por ejemplo, cuando se $\|x\|<1<\|y\|$.

Como para compacidad, pick $\{O_n\}$ una cubierta abierta de a $X$. Definir $X_n=\{x \in [0,1] : \exists y \in O_n \text{ with }\|y\|=x \text{ or }\|y\|=1/x\}$. A continuación, $\{X_n\}$ es una cubierta abierta de a $[0,1]$ y hay un número finito de subcover (eventualmente volver a numerar) $\{X_1,...,X_n\}$. A continuación, el correspondiente $O_1,O_2,...,O_n$ cubierta $X$. Esto demuestra que $X$ es compacto.