La deformación de la teoría y la diferencial graduada de álgebras de Lie

Question

Se supone que hay una filosofía que, al menos sobre un campo de característica cero, cada "deformación problema" es de alguna manera "gobernado" o "controlado" por un diferencial graduada Mentira álgebra. Véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/math/0507284

He visto esta idea se atribuye a grandes nombres como Quillen, Drinfeld, y Deligne, y por lo tanto debe ser cierto, ¿verdad? ;-)

Un ejemplo de esta filosofía es la deformación de la teoría de un pequeño complejo múltiple: es "controlado" por el de Kodaira-Spencer dg Mentira álgebra: holomorphic campos vectoriales tensor de Dolbeault complejo, con diferencial inducida por del-bar en la Dolbeault complejo, y la Mentira soporte inducida por la Mentira de soporte en los campos vectoriales (creo que también tome cuña de producto en el Dolbeault lado).

Me parece recordar que hay un teorema general que justifica esta filosofía, pero no recuerdo los detalles, o cuando oí hablar de él. La declaración del teorema debe ser algo así:

Sea k un campo de característica cero. Dado un functor F: (Local Artin k-álgebras) -> (Conjuntos) satisfacer algunas condiciones naturales que una "deformación functor" debe satisfacer, entonces existe una dirección general de la Mentira de álgebra L tal que F es isomorfo a la deformación functor de L, que es el functor que toma un álgebra a y devuelve el conjunto de Maurer-Cartan soluciones (dx + [x,x] = 0) en (L^1 tensor m_Una) módulo del medidor de acción de (L^0 tensor m_Una), donde m_Un denota el ideal maximal de A.

Además, creo que un L debe ser el único hasta cuasi-isomorfismo.

¿Alguien sabe una referencia de algo a lo largo de estas líneas?

Cualquier otro niza ejemplos de casos en que esta filosofía se sostiene también sería apreciada.

Answer 1

Espero escribir más sobre esto más adelante, pero por ahora permítanme hacer algunas aserciones generales: generales de teoremas para este efecto y dar dos referencias: arXiv:matemáticas/9812034, DG coalgebras como formales, pilas, por Vladimir Hinich, y la encuesta del artículo arXiv:matemáticas/0604504, la Superior y la derivada de las pilas: una visión global, por Bertrand Toen (mira el final a donde Hinich del teorema y sus generalizaciones se discuten).

La afirmación de fondo es si a usted le gusta es la Koszul la dualidad de la conmutativa y la Mentira operads en característica cero. En su forma más simple es una versión de la Mentira del teorema: para cualquier Mentira álgebra podemos asignar un grupo formal, y a cada grupo formal podemos asignar una Mentira álgebra, y esto le da una equivalencia de categorías. La construcción general es la misma: reemplazar álgebras de Lie por su homotopical analógico, Loo álgebras o la dirección general álgebras de Lie (las dos nociones son equivalentes --- ambos se encuentran álgebras en un establo oo,1 categoría). Podemos asociar a un objeto en el espacio de soluciones de Maurer-Cartan ecuaciones -- esta es básicamente la clasificación de espacio de su grupo formal (es decir, grupo formal desplazado por 1). A la inversa de cualquier formales derivados de la pila se puede calcular su desplazado tangente complejo (o quizás mejor decir, el álgebra de la Mentira de su bucle espacio). Estas son las equivalencias de oo-categorías si configurar todo correctamente. Esta es una forma de Quillen racional del homotopy teoría - estamos pasando de un simple conectado espacio para la Mentira álgebra de su bucle espacio (la Whitehead álgebra de homotopy grupos de X con un cambio) y la espalda.

Así que, básicamente, esta "filosofía", con una comprensión moderna es sólo un cálculo o Mentira teoría: se pueden diferenciar y exponentiate, y son las equivalencias entre los conmutativa y la Mentira teorías (nota estamos diciendo que esta geométricamente, lo que significa que la sustitución de álgebras conmutativas por su contrario, es decir, espacios adecuados, en este caso formal de las pilas). Ya que cualquier deformación/formal de los módulos problema, adecuadamente formulados, da lugar a una formales derivados de la pila, se incorpora (de nuevo en característica cero) por exponentiating una Mentira álgebra.

Siento mucho ser tan vagos, podría tratar de ampliar más tarde, pero mira en Toen del artículo para más (aunque creo que es formulado como pregunta abierta, y creo que no es tan abierto ya). Una vez que vea las cosas de esta manera usted puede generalizar a ellos también en varias maneras-por ejemplo, la sustitución conmutativa geometría no conmutativa de la geometría, de reemplazar álgebras de Lie por álgebras asociativas (ver arXiv:matemáticas/0605095 por Lunts y Orlov de esta filosofía) o pasar a la geometría a través de cualquier operad con un aumento de su doble...

Answer 2

Puedo ofrecer un algebraicas ejemplo la generalización de Hochschild cohomology. Let'S → P una de morfismos de operads, suponga que S ha S(1)=k (aunque aumentada debe ser lo suficientemente fuertes como bueno, yo creo). Podemos formar un cofibrant resolución, O' de S, esto tiene la estructura subyacente de la libre operad en un conjunto de generadores de C, y C tiene un cooperad estructura.

Queremos deformar f. Bien Hom(S,P) < Hom(FC,P) = Hom_S(C,P), donde los dos primeros hom están en la categoría de operads y la final es en la categoría de colecciones. Recordar que las colecciones subyacen operads, se les puede dar como functors de la categoría de conjuntos finitos y bijections en espacios vectoriales.

Pero la C es una cooperad y P es un operad, y este homset se parece mucho lineal mapas entre ellos, así que no deberíamos tener una convolución operad estructura. Bien que hacer, pero es sólo un no-simétrica operad.

No simétricas operads tiene la estructura natural de una pre-álgebra de la Mentira, la composición se define tomando la suma de todas las maneras posibles de conectar una operación a otra. Si usted no conoce pre-álgebras de Lie, entonces no te preocupes ya que el anti-symmetrisation de la pre-Mentira producto es una Mentira soporte. Lo nuestro no-simétrica operad Hom(FC,P), naturalmente, tiene la estructura de un dg-álgebra de la Mentira.

La naturaleza de la inclusión de Hom(S,P) en Hom(FC,P) debe venir como ninguna sorpresa. Son precisamente los Maurer-Cartan elementos. Así que nuestro morfismos f corresponde a un MC elemento en un dg-álgebra de la Mentira.

Dado un MC elemento en una gradual Mentira álgebra las deformaciones son MC elementos en la dg-Mentira álgebra retorcido por el original de MC elemento.

Ejemplos

1. Sea P un endomorfismo operad ⊕Hom(A⊗...⊗a,a), entonces la teoría anterior es la deformación de la teoría de S de álgebras.
2. Vamos a ser la asociativo operad, sea P el operad para álgebras asociativas con una acción de una pers. alg R por los elementos centrales y una Mentira álgebra g por derivaciones con algunos de compatibilidad de condiciones (de hecho por una Mentira-Rinehart álgebra, o una Mentira-algebroid). A continuación, la deformación de la teoría de la inclusión de morfismos es el estudio de las deformaciones inducidas por la Mentira-algebroid acciones. De hecho, la dg-álgebras de Lie involucrados son muy a menudo formal.

Answer 3

Tal vez las notas de Kontsevich las conferencias son provechosos.

Answer 4

Tal vez http://arxiv.org/abs/0707.0889 podría ser de alguna ayuda? Es lo suficientemente general - representaciones de properads abarcan una enorme variedad de casos, desde estructuras algebraicas formal diferencial geométrico de las cosas.

Answer 5

Soy reacio a poner esto, ya que en realidad no lo he mirado en la referencia, me voy a sugerir, pero ¿qué acerca de Illusie del Complexe Cotangents et Deformaciones I y II ? He estado bajo la impresión de que si quiero aprender deformación de la teoría, que debo buscar allí, aunque no tengo ni idea si contiene el preciso teorema que usted está buscando.