Considere $B := \{u \in C^2([0, 1]) : \|u\|_{C^2} \le 1\}$ como un subconjunto de $C^1([0, 1])$ . Es $B$ compacto en $C^1([0, 1])$ ?
Ups, supongo que debería aclarar que $\|u\|_{C^k} := \sum_0 ^k \sup_ {x \in I} |u^{(i)}(x)|$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Normal Human
Puntos
45168
No, ni siquiera está cerrado. Usando el intervalo $[-1,1]$ en lugar de $[0,1]$ se puede ver que la secuencia $$f_n(x) = |x|^{2+1/n} \operatorname {sign} x$$ converge en $C^1$ norma para $f(x)=|x|^2 \operatorname {sign} x$ que no está en $C^2$ .
En efecto, $f_n'(x) = (2+1/n)|x|^{1+1/n}$ converge uniformemente en $f'(x) = 2|x|$ .
Los segundos derivados $f_n''(x)=(2+1/n)(1+1/n)|x|^{1/n} \operatorname {sign}x$ están uniformemente delimitadas; sólo necesitan ser reducidas un poco.
