No sé qué notación has estado utilizando, pero lo siguiente podría ayudar, por si acaso aún no ha llegado tan lejos.
Nombra los vértices del tetraedro $[1],[2],[3],[4]$, por ejemplo. Entonces el conjunto de aristas puede ser denotado por $[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]$ y el de caras como $[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]$.
Por lo tanto, los grupos correspondientes de cadenas de $0,1$ y $2$ son los grupos abelianos libres sobre estos generadores:
$$ \begin{eqnarray*} C_0 &=& \mathbb{Z}\langle [1],[2],[3],[4]\rangle \\ C_1 &=& \mathbb{Z}\langle [1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]\rangle \\ C_2 &=& \mathbb{Z}\langle [1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]\rangle \end{eqnarray*} $$
y los operadores de borde
$$ C_2 \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} C_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0 $$
pueden ser calculados de la siguiente manera:
$$ \partial_1 [1,2] = [2]-[1] \ , \qquad \partial_2 [1,2,3] = [2,3]-[1,3]+[1,2] \ , \qquad \text{etc}\dots $$
Así que puedes representar estos operadores de borde mediante matrices. Por ejemplo,
$$ \partial_1 = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
y continúa tus cálculos desde este punto.
Por ejemplo, si denominamos a $T$ el tetraedro, entonces
$$ H_2 (T) = \mathrm{ker}\ \partial_2 $$
y algunas transformaciones elementales de columnas con la matriz $\partial_2$ nos da que
$$ H_2 (T) = \mathbb{Z} \langle [2,3,4] - [1,3,4] + [1,2,4] - [1,2,3] \rangle \cong \mathbb{Z}\ . $$
Eso es, como ya sabíamos, por supuesto: $H_2(T)$ es $\mathbb{Z}$. Pero tenemos más: un generador explícito para este segundo grupo de homología. Es decir, el 2-ciclo $[2,3,4] - [1,3,4] + [1,2,4] - [1,2,3]$, que es, por supuesto, la suma de las caras del tetraedro (con un signo).
