Esto se generaliza a cualquier número de otras situaciones: por ejemplo, si $G$ es un grupo y $n\gt 0$ un entero positivo, vamos a $N$ ser el subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma$g^n$,$g\in G$. A continuación, $G/N$ ha exponente $n$, y si $\pi\colon G\to G/N$ es la canónica surjection, entonces para cualquier grupo de $H$ de exponente $n$ y cualquier grupo de homomorphism $f\colon G\to H$, no existe un único homomoprhism $F\colon G/N \to H$ tal que $f=F\circ \pi$.
Para el contexto general:
Definición. Deje $F_{\infty}$ ser el grupo libre de countably infinito rango, y deje $w\in F_{\infty}$. Decimos que $w$ es una identidad de $G$ si y sólo si para cada grupo de homomorphism $f\colon F_{\infty}\to G$,$f(w)=1$. Equivalentemente, cada evaluación de $w$ $G$ es la identidad.
Definición. Deje $S\subseteq F_{\infty}$. La variedad de grupos determinados por $S$ es la colección de todos los grupos $G$ que $w$ es una identidad de $G$ por cada $w\in S$.
La proposición. Deje $S\subseteq F_{\infty}$. La variedad de grupos de $\mathfrak{V}$ determinado por $S$ satisface:
- $\mathfrak{V}$ es cerrado bajo subgrupos: si $G\in\mathfrak{V}$$H\lt G$,$H\in\mathfrak{V}$.
- $\mathfrak{V}$ es cerrado bajo homomórfica imágenes: si $G\in\mathfrak{V}$ $\pi\colon G\to K$ es un surjective grupo homomorphism, a continuación,$K\in\mathfrak{V}$.
- $\mathfrak{V}$ es cerrado bajo arbitraria directa de productos: si $\{G_i\}_{i\in I}$ es una familia de grupos (de tamaño arbitrario), y $G_i\in\mathfrak{V}$ por cada $i\in I$,$\prod\limits_{i\in I}G_i\in\mathfrak{V}$.
Birkhoff del HSP Teorema. Deje $\mathcal{C}$ ser un vacío clase de grupos. A continuación, $\mathcal{C}$ es una variedad de grupos si y sólo si $\mathcal{C}$ es cerrado bajo (H) homomórfica imágenes, (S) de los subgrupos, y (P) arbitraria directa de productos.
La proposición. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $\mathfrak{V}$ ser una variedad de grupos. A continuación, hay una menor subgrupo normal de $G$, $\mathfrak{V}(G)$, tal que $G/\mathfrak{V}(G)\in \mathfrak{V}$. Si $\mathfrak{V}$ se determina como una variedad del conjunto de identidades $S\subseteq F_{\infty}$, $\mathfrak{V}(G)$ es el subgrupo de $G$ generado por las imágenes de $S$ en todos los homomorphisms $F_{\infty}\to G$.
Prueba. Claramente, hay al menos un subgrupo normal $N$ tal que $G/N\in\mathfrak{V}$, es decir,$N=G$. Si $\{N_i\}$ es una familia de subgrupos normales de $G$ tal que $G/N_i\in\mathfrak{V}$ por cada $i$,$\prod (G/N_i)\in\mathfrak{V}$, ya que es un producto de grupos en $\mathfrak{V}$. Y canónica de mapa de $G$ a $\prod(G/N_i)$ ha kernel $\cap N_i$, por lo tanto $G/N_i$ es isomorfo a un subgrupo de un grupo en $\mathfrak{V}$, por lo tanto se encuentra en $\mathfrak{V}$. Por lo tanto, podemos tomar $\mathfrak{V}(G)$ a ser la intersección de todos los subgrupos normales $N\triangleleft G$ tal que $G/N\in\mathfrak{V}$.
Para la segunda descripción, vamos a $f\colon F_{\infty}\to G$ ser un homomorphism. A continuación, $\pi\circ f\colon F_{\infty}\to G\to G/\mathfrak{V}(G)$ es un mapa de $F_{\infty}$ en un grupo en $\mathfrak{V}$, y desde $S$ determina la $\mathfrak{V}$, $S$ debe estar en th ekernel de este mapa. Por lo tanto $f(S)\subseteq \mathfrak{V}(G)$. Es decir, $\mathfrak{V}(G)$ contiene todas las imágenes de $S$ bajo homomorphisms $F_{\infty}\to G$. Ahora vamos a $N$ ser el subgrupo generado por todas esas imágenes. Este grupo es normal, porque si $f\colon F_{\infty}\to G$ es cualquier homomorphism, a continuación, $f(S)^g$ es la imagen de $S$ bajo la homomorphism $\varphi_{g}\circ f$ (donde $\varphi_g$ es el interior de automorphism de $G$ determinado por $g$), por lo tanto $f(S)^g\subseteq N$ todos los $g\in G$. Esto es válido para todas las $f$, por lo que la generación del sistema de $N$ se asigna a sí mismo por conjugación. Esto demuestra que $N$ es normal; y $G/N\in\mathfrak{V}(G)$, debido a que cada homomoprhism $F_{\infty}\to G/N$ ascensores para un homomorphism $F_{\infty}\to G$, y, a continuación, la imagen de $S$ $G/N$ es trivial. Por lo tanto, $\mathfrak{V}(G)\subseteq N$, lo que demuestra la igualdad. QED
El subgrupo normal $\mathfrak{V}(G)$ es el llamado verbal subgrupo de $G$ correspondiente a $\mathfrak{V}$.
Teorema. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $\mathfrak{V}$ ser una variedad de grupos. A continuación, $\mathfrak{V}(G)$ se caracteriza por la siguiente propiedad universal: $\mathfrak{V}(G)\triangleleft G$, $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$, y para cada $H\in\mathfrak{V}$ y cada grupo homomorphism $f\colon G\to H$, no hay un único grupo de homomorphism $F\colon G/\mathfrak{V}(G)\to H$ tal que $f=F\circ \pi$, $\pi\colon G\to G/\mathfrak{V}(G)$ la proyección canónica.
Prueba. En primer lugar, mostramos $\mathfrak{V}(G)$ tiene esta propiedad. Deje $H\in\mathfrak{V}(G)$, y deje $f\colon G\to H$ ser cualquier grupo de homomorphism. Por el Teorema de Isomorfismo, $G/\mathrm{ker}(f)\cong f(G)\lt H$; desde $f(G)$ es un subgrupo de un grupo en $\mathfrak{V}$,$f(G)\in\mathfrak{V}$, por lo tanto $G/\mathrm{ker}(f)\in\mathfrak{V}$ (es isomorfo a un grupo en $\mathfrak{V}$). Desde $\mathfrak{V}(G)$ es el menor subgrupo normal de $G$ con un cociente en $\mathfrak{V}$,$\mathfrak{V}(G)\subseteq\mathrm{ker}(f)$, por la característica Universal del cociente, $f$ factores de forma exclusiva a través de $G/\mathfrak{V}(G)$, produciendo $F$. Que $\mathfrak{V}(G)\triangleleft G$ $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$ ya ha sido establecido.
Finalmente, mostramos que un subgrupo normal $N$ la satisfacción de este universal de los bienes es, en realidad,$\mathfrak{V}(G)$. Sabemos que $\mathfrak{V}(G)\subseteq N$ por la construcción. Y por la universal de los bienes, la proyección canónica $G\to G/\mathfrak{V}(G)$ factores a través de $G/N$, lo $N\subseteq \mathfrak{V}(G)$, lo que demuestra la igualdad. QED
Ahora, la clase de todos los abelian grupo es una variedad (cerrado bajo homomorphism imágenes, subgrupos y arbitraria productos directos). De hecho, la clase está determinada por la identidad individual $x^{-1}y^{-1}xy$: $G$ es abelian si y sólo si para cada $g,h\in G$, $g^{-1}h^{-1}gh = 1$; si dejamos $\mathfrak{A}$ denotar la variedad de todos los abelian grupos, a continuación, $\mathfrak{A}(G)$ es, precisamente, el subgrupo generado por todos los valores de $x^{-1}y^{-1}xy$, es decir, el colector de un subgrupo. Así que el colector subgrupo ha deseado universal de los bienes, por lo tanto $G^{\rm ab} = G/[G,G]$ ha deseado universal de los bienes.
Si desea reemplazar "abelian grupo" con "abelian grupo de exponente $n$", entonces se puede utilizar el conjunto de $S=\{x^{-1}y^{-1}xy, z^n\}$, y el uso del subgrupo de $G$ generado por los conmutadores y todos los $n$th poderes. Si se reemplaza "abelian grupo" con "nilpotent de clase $c$", a continuación, reemplace el conmutador subgrupo con el $(c+1)$st término de la parte inferior central de la serie, que se determina por la palabra
$$[[\cdots [x_1,x_2],x_3]\cdots x_{n+1}].$$
Y así sucesivamente.
Véase también el debate acerca de conmutador-centro de la dualidad para obtener más información sobre las variedades y verbales de los subgrupos.
