La descomposición de finitely generado grupo abelian

Question

Para formular la pregunta necesito recordarle dos teoremas de álgebra:

• Cualquier finitely generado grupo abelian $G$ es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos:

$$ G\simeq\mathbb Z_{u_{1}} \oplus \dots \oplus \mathbb Z_{u_{m}}\oplus \mathbb Z\oplus \dots \oplus \mathbb Z\qquad (1) $$

donde $u_{i}|u_{i+1}$.

Cada finito término de esta descomposición también puede ser descompuesto a una suma directa de primaria cíclico de los grupos. Así que podemos decir que cada finitely generado grupo abelian $G$ es isomorfo a una suma directa de primaria cíclico grupos y cíclico infinito grupos.

• Todos los subgrupos de Sylow de un grupo finito son normales si y sólo si el grupo es isomorfo al producto directo de sus subgrupos de Sylow.

Por lo tanto, si $|G|=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{k}^{n_{k}}$ y todos los Sylow $p_{i}$-subgrupos $P_{1}$, ..., $P_{k}$ son normales, entonces

$$G=P_{1}\times\cdots \times P_{k}\qquad (2)$$

Así que aquí está la pregunta:

Deja que el grupo $G$ satisfacer las condiciones de ambos teoremas al mismo tiempo. A continuación, vamos a tener dos descomposiciones $(1)$$(2)$. Hay cierta correspondencia o relación entre estas descomposiciones? (Me refiero a que tal vez son isomorfos, o es el mismo o algo más). Puede usted explicar esto a mí?

Answer 1

Ver el artículo de la Wikipedia en finitely generado abelian grupos para obtener más información. Tenemos

Teorema. Cualquier finito grupo abelian $G$ admite un único invariante factor de descomposición.

Teorema B. Cualquier finito grupo abelian $G$ admite un único primaria de descomposición.

Estas descomposiciones son diferentes, pero, lógicamente, Thm Un $\Leftrightarrow$ Thm B: es decir, una vez que usted pruebe uno, el otro sigue de Sol-Ze (aka CRT), ${\bf Z}/nm\cong {\bf Z}/n\times{\bf Z}/m$ al $(n,m)=1$. Además se puede calcular una descomposición de la otra (+ vice-versa). Vamos a discutir cómo.

Supongamos que tenemos la invariante factor de la descomposición de la $G$ de Thm a de la siguiente manera:

$$G\cong \frac{\bf Z}{n_1}\times\frac{\bf Z}{n_2}\times\cdots\times\frac{\bf Z}{n_l}.$$

A continuación, cada una de las $n_i$ factores $\prod_pp^{e(i,p)}$ para los números primos $p$ y exponentes $e(i,p)$. Por SZ, a continuación,

$$G\cong\prod_{i=1}^l\frac{\bf Z}{n_l}\cong\prod_{i=1}^l\prod_p\frac{\bf Z}{p^{e(i,p)}}\cong\prod_p\left[\prod_{i=1}^l\frac{\bf Z}{p^{e(i,p)}}\right].$$

Aviso de los factores $\prod_{i=1}^l{\bf Z}/p^{e(i,p)}$ $p$- grupos; este es el principal de la descomposición, que es el mismo que el Sylow de descomposición (como un producto directo de Sylow $p$-subgrupos, disponible para todos los nilpotent grupos) cuando nuestro grupo abelian. Es probablemente la mejor manera de pensar de Sylow de la teoría como de la inevitable no conmutativa la generalización de la aritmética en la teoría de la finitely generado abelian grupos.

Nuestra hipótesis inicial de que teníamos el invariante factor de descomposición significa que $n_i\mid n_{i+1}$, por lo que debemos tener $e(i,p)\le e(i+1,p)$ por cada $p$. También, algunas de las $e$'s puede ser $0$. Por lo tanto, si comenzamos con una primaria de la descomposición como se considera en la Thm B, se puede ordenar el primer exponentes en un orden creciente, y rellenar $0$s según sea necesario para cada uno de los prime tiene el mismo número de exponentes, luego la forma de la $n_i$ fuera de la oficina del primer poderes creados a partir de estos exponentes.

He aquí un ejemplo. A partir de una descomposición primaria obtenemos

$$\begin{array}{llccccc} G & \cong & \left(\frac{\bf Z}{2} \times \frac{\bf Z}{2}\times\frac{\bf Z}{8}\right) & \times & \left(\frac{\bf Z}{3}\times\frac{\bf Z}{27}\right) & \times & \left(\frac{\bf Z}{5}\right) \\ & \cong & \left(\color{Magenta}{\frac{\bf Z}{2}} \times \color{Blue}{\frac{\bf Z}{2}} \times \color{Green}{\frac{\bf Z}{8}} \right) & \times & \left(\color{Magenta}{\frac{\bf Z}{1}} \times \color{Blue}{\frac{\bf Z}{3}} \times \color{Green}{\frac{\bf Z}{27}} \right) & \times & \left(\color{Magenta}{\frac{\bf Z}{1}} \times \color{Blue}{\frac{\bf Z}{1}} \times \color{Green}{\frac{\bf Z}{5}} \right) \\ & \cong & \left(\color{Magenta}{\frac{\bf Z}{2}\times\frac{\bf Z}{1}\times\frac{\bf Z}{1}} \right) & \times & \left( \color{Blue}{\frac{\bf Z}{2}\times\frac{\bf Z}{3}\times\frac{\bf Z}{1}} \right) & \times & \left( \color{Green}{\frac{\bf Z}{8}\times\frac{\bf Z}{27}\times\frac{\bf Z}{5}} \right) \\ & \cong & \frac{\bf Z}{2\times1\times1} & \times & \frac{\bf Z}{2\times3\times1} & \times & \frac{\bf Z}{8\times27\times5} \\[7pt] & \cong & {\bf Z}/2 & \times & {\bf Z}/6 & \times & {\bf Z}/1080 \end{array}$$

como nuestro invariante factor de descomposición, con $2\mid6\mid1080$. Y a ver cómo ir en marcha atrás con este mismo ejemplo, acabo de leer de abajo a arriba.

En conclusión, entonces, hay dos representaciones fundamentales de un número finito de abelian grupo, el invariante-factor de la descomposición y el principal de la descomposición. Teoremas a y B del estado de su existencia y de unicidad; estos son aproximadamente lógicamente equivalente, utilizando el teorema del resto, y es relativamente fácil moverse entre las dos descomposiciones usando la factorización prima. El CASO de la representación que invoca de álgebra lineal, el principal de la descomposición invoca grupo de teoría (que se coloca dentro de Sylow de la teoría), y que ambos están posicionados dentro de álgebra conmutativa.

Answer 2

Así los dos descomposiciones de un finitely generado abelian grupo (o, más generalmente, los módulos a través de un PID) son invariantes factor de la descomposición de la primaria y el divisor de descomposición. El invariante factor de descomposición es la primera que se le dan, y la escuela primaria, el divisor de descomposición es $G = \mathbb Z/p_1^{k_1} \times ... \times \mathbb Z/p_n^{k_n}$ donde $p_i$ no son necesariamente distintos de los números primos. Claramente puede agrupar estos para obtener el sylow p-grupos.

Ya que estos son el mismo grupo deben ser equivalentes, pero para realmente mostrar cualquiera de ellos existe el método más conveniente es el uso del Teorema del Resto Chino. Principalmente que $\mathbb Z/m \times \mathbb Z/n$ = $\mathbb Z/mn$ si $(m,n)=1$. Esto le permite romper el $a_i$'s le dio (que generalmente se conoce como factores invariantes) en sus principales componentes, o se da una descomposición en suma directa de $\mathbb Z/p_i^{k_i}$'s (generalmente $p_i^{k_i}$ se conoce como primaria divisor puede combinar fácilmente para crear algunos de los $a_i's$.

Si sabes un poco de módulo y el anillo de la teoría puede utilizar la CRT para demostrar el Teorema Fundamental de Abelian Grupos de ti mismo. Como cualquier finitely generadas $\mathbb Z$ módulo de $G$ $ (\times_{i=1}^n \mathbb Z)/M $ donde $M$ es algunos submódulo de lo finito producto directo de la $\mathbb Z's$. Ahora usted puede mostrar que $M= \times_{i=1}^nI_i$ donde $I_i$ es un ideal de a$\mathbb Z$, de modo igual a $(r_i)$ algunos $r_i \in \mathbb Z$. Así que podemos concluir $G= \times_{i=1}^n \mathbb Z/(r_i)$, y el uso de la CRT que arriba a la conclusión de que podemos encontrar ya sea de forma giiven anteriormente (es decir, para primaria divisores de uso de la CRT para romper $r_i$ en su primer divisores).

Si esto no se pegue usted puede ver a cualquier decente de posgrado álgebra de texto y buscar los módulos a través de PIDs para ver esto más examinado a fondo.