La existencia y unicidad de la pura Neumann valor en la frontera problema para suavizar los datos se pueden probar usando el Verde de la fórmula de representación, de forma explícita.
Primer aviso de que para $-\Delta \Phi = \delta(x)$, por el Verde de la segunda identidad y de convolución fórmula: $x\in \Omega$
$$
\int_{\Omega} \Big(u(y) \Delta \Phi(y-x) - \Phi(y-x)\Delta u(y)\Big) dy = \int_{\partial \Omega}\left(u(y)\frac{\partial \Phi}{\partial n}(y-x) - \Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial n}(y) \right) dS(y),
$$
tenemos
$$
u(x) = -\int_{\Omega} \Phi(y-x)\Delta u(y) \, dy + \int_{\partial \Omega}\left(\color{red}{\Phi(y-x)}\frac{\partial u}{\partial n}(y) - u(y)\color{blue}{\frac{\partial \Phi}{\partial n}(y-x)} \right) dS(y).
$$
Para el problema de Dirichlet, una función de corrección está construido de modo que el rojo término se desvanece.
Para Neumann problemas, la función de Green es construido de modo que el $u(x)$ en cada punto es único hasta una constante. Algunas personas prefieren establecer:
$$
\left\{\begin{aligned}
-\Delta \Phi &= \delta(x) \quad \text{in }\Omega,
\\
\frac{\partial \Phi}{\partial n} &= \frac{1}{|\partial \Omega|} \quad \text{on }
\partial\Omega,
\end{aligned}\right.
$$
donde valor absoluto, sólo significa que la medida de Lebesgue de codimension $1$, es decir, la superficie de la zona, por lo que la diferencia constante es el promedio de $u$$\partial \Omega$. Yo mismo prefiero a establecer algo así como:
$$
\left\{\begin{aligned}
-\Delta \Phi &= \delta(x) - \frac{1}{|\Omega|}\quad \text{in }\Omega,
\\
\frac{\partial \Phi}{\partial n} &=0 \quad \text{on }
\partial\Omega,
\end{aligned}\right.\la etiqueta{$\star$}
$$
así que usted tiene:
$$
u(x) = \frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u(y)dy -\int_{\Omega} \Phi(y-x)\Delta u(y) \, dy + \int_{\partial \Omega}
\Phi(y-x)\frac{\partial u}{\partial n}(y)dS(y).
$$
Esto significa que la solución es única hasta una constante, la constante es el promedio de $u$$\Omega$, en otras palabras, una vez que arreglar este promedio, $u$ es sujetado a una sola función. La existencia de la función de Green es otra historia, que se basa en el análisis funcional, por ejemplo, ver aquí.
El único de la $u$ hasta una constante que puede ser demostrado por el principio del máximo o método de energía, pero por Helmholtz de descomposición no la dirección de la singularidad, no tenemos que tratar este tema aquí.
Ahora para su ecuación, sabemos que la compatibilidad se satisface la condición, porque:
$$
\int_{\Omega}\Delta u = \int_{\Omega}\nabla \cdot u = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} dS = \int_{\partial \Omega} E\cdot n\,dS.
$$
Considere la posibilidad de $u$ es suave y $\int_{\Omega} u = 0$, luego
$$
u(x) = -\int_{\Omega} \Phi(y-x) (\nabla_y \cdot E(y)) \, dy + \int_{\partial \Omega}
\Phi(y-x) E(y)\cdot n) dS(y).
$$
Aqui otro de dos pruebas para el buen vector de campo. Neumann límite de enfoque es bueno para menos regular campo vectorial (es decir la que tiene componente en algún espacio de Sobolev), para el buen vector de campo, utilizando el vector de potenciales sería más preferible (al menos para mí).
La primera es usar un pointwisely mantener fórmula si $\Omega$ es convexa con respecto a un punto de $x_0 \in \mathbb{R}^3$:
$$
E = \nabla \phi + A,
$$
donde
$$
A = -(x - x_0)\times \int^1_0 t \nabla \times E\big(x_0 + t(x - x_0)\big)\,dt ,
$$
y
$$
\phi = (x - x_0)\cdot \int^1_0 tE\big(x_0 + t(x - x_0)\big).
$$
A pesar de que este no tenga exactamente la misma forma, pero la fórmula le da más intuición física. Para referencia, por favor ver aquí.
La segunda es a través del problema de Dirichlet de la función de green. Ahora queremos resolver un vector de la ecuación de Poisson:
$$
\left\{\begin{aligned}
-\Delta F &= E\quad \text{in }\Omega,
\\
F &=0 \quad \text{on }
\partial\Omega,
\end{aligned}\right.
$$
Luego de Dirichlet para la función de Green:
$$
\left\{\begin{aligned}
-\Delta \Phi &= \delta(x) \quad \text{in }\Omega,
\\
\Phi &=0 \quad \text{on } \partial\Omega.
\end{aligned}\right.
$$
Utilice el Verde de la fórmula de representación componente de sabios, tenemos
$$
F_i(x) = -\int_{\Omega} \Phi(y-x)\Delta F_i(y) \, dy - \int_{\partial \Omega} F_i(y) \frac{\partial \Phi}{\partial n}(y-x) dS(y),
$$
y esto es
$$
F_i(x) = \int_{\Omega} \Phi(y-x)E_i(y) \, dy.
$$
Ahora uso el vector de Laplace de la identidad para el buen campos vectoriales
$$
E(x) = -\Delta F(x) = \nabla \times \nabla \times F - \nabla \nabla \cdot F
\\
=\nabla_x \times \left(\nabla_x \times \int_{\Omega} \Phi(y-x)E (y) \, dy\right) - \nabla _x\left(\nabla_x \cdot \int_{\Omega} \Phi(y-x)E(y) \, dy\right),
$$
donde el subíndice $x$ significa tomar gradiente de/div/curl w.r.t. $x$. Movimiento más en la derivada en la integral:
$$
E(x) = \nabla_x \times \left(\int_{\Omega} \nabla_x \times \Big(\Phi(y-x)E (y)\Big) \, dy\right) - \nabla_x\left(\int_{\Omega} \nabla_x \cdot \Big(\Phi(y-x)E(y)\Big) \, dy\right)
\\
= \nabla_x \times \left(\int_{\Omega} \nabla_x \Phi(y-x)\times E (y) \, dy\right) - \nabla_x\left(\int_{\Omega} \nabla_x \Phi(y-x)\cdot E(y) \, dy\right)
\\
= - \nabla_x \times \left(\int_{\Omega} \nabla_y \Phi(y-x)\times E (y) \, dy\right) + \nabla_x\left(\int_{\Omega} \nabla_y \Phi(y-x)\cdot E(y) \, dy\right)
\\
= \nabla_x \times \left(\int_{\Omega} \Big( \Phi(y-x) \nabla_y \times E (y) - \nabla_y \times (\Phi(y-x)E(y))\Big) \, dy\right)
\\
+ \nabla_x\left(\int_{\Omega} \Big( -\Phi(y-x) \nabla_y \cdot E (y) + \nabla_y \cdot (\Phi(y-x)E(y))\Big) \, dy\right)
\\
= \nabla_x \times \left(\int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \times E (y)\,dy - \int_{\partial \Omega} \Phi(y-x)n\times E(y)\,dS(y) \right)
\\
+ \nabla_x\left(-\int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \cdot E (y) \, dy +\int_{\partial \Omega}\Phi(y-x)E(y)\cdot n\,dS(y) \right).
$$
De modo que: en $\Omega$
$$
E = \nabla \phi + \nabla \times Una,
$$
donde
$$
\phi(x) = -\int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \cdot E (y) \, dy +\int_{\partial \Omega}\Phi(y-x)E(y)\cdot n\,dS(y),
\\
Una(x) = \int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \times E (y)\,dy - \int_{\partial \Omega} \Phi(y-x)n\times E(y)\,dS(y).
$$
