Abrir Conjuntos de Productos en la Topología.

Question

Deje $\{ X_s \}_{s \in S}$ ser una familia de espacios topológicos, entonces el producto de la topología definida en el producto cartesiano $X := \prod_{s\in S}$ es la más tosca (es decir, el menor) topología de tal forma que cada mapa de proyección $\tau_s: X \to X_s$ es continua (ver PlanetMath).

Ahora estoy interesado en cómo los bloques abiertos en este producto de la topología. En mis notas y del libro de texto me parece, que los conjuntos de la forma $$ \prod_{s \in S} W_s $$ con $W_s$ abierta en $X_s$ $W_s \ne X_s$ sólo para un número finito de $s \in S$ formulario de una base de esta topología. Ahora sé cómo se hace la base de los conjuntos de mirar, pero ¿cómo funciona el abrir conjuntos de look? Sé que cada conjunto abierto podría ser escrito como una unión de conjuntos de base, sino porque en general $$ (A \times B) \cup (C \veces D) \ne (A \cup B) \times (C \D taza) $$ (sólo $\subset$ tiene) no puedo decir por ejemplo que el abrir los conjuntos son conjuntos de $\prod_{s \in S} W_s$ $W_s$ abierto y $W_s \ne X_s$ sólo para un número finito de $s \in S$. Así, podría algo ser dicho acerca de la forma de los bloques abiertos?

Answer 1

Como Hui Yu dice, no va demasiado lejos con sólo la definición y el conjunto teórico de operaciones: pensar en específico ejemplos.

Por ejemplo, antes de luchar contra los monstruos que dan miedo como infinito arbitraria de productos, cómo buscar ejemplos en la humilde $\mathbb{R}^2$? Está usted seguro de que podría encontrar una caracterización sencilla de abrir conjuntos de allí (que resultan ser los mismos para el producto de la topología y de la Euclidiana, habitual)?

E. g., ¿qué acerca de un conjunto como este:

$$ U = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ xy > 1 \ , \ x > 0 \right\} \quad \text{?} $$

Es un conjunto abierto. ¿Crees que podría describir fácilmente (quiero decir, sin la repetición de la definición de bloques abiertos en $\mathbb{R}^2$) en términos de los bloques abiertos de la base de la topología producto?

Answer 2

Tenga en cuenta que los siguientes son verdaderas (en todos los espacios): (fijar una base $\mathcal{B}$ para un espacio de $X$)

1. $f: X \to Y$ es abrir el fib $f[B]$ está abierto en $Y$ por cada $B \in \mathcal{B}$.

2. $f: X \to Y$ es continua en a $x$ fib para cada conjunto abierto $O$ que contiene $f(x)$, existe alguna $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$$f[B] \subset O$.

3. $X$ es compacto si toda cubierta de $X$ con elementos de $\mathcal{B}$ tiene un número finito de subcover.

4. $D \subset X$ es densa iff todos los no-vacía $B \in \mathcal{B}$ intersecta $D$.

5. $f : Y \to X$ es continua iff $f^{-1}[B]$ está abierto en $Y$ todos los $B \in \mathcal{B}$.

Tenga en cuenta que podemos razonar acerca de la continuidad, la apertura, la compacidad, a sabiendas de que sólo una base para la topología. Así, en la mayoría de los casos, todo lo que realmente necesitamos es una buena descripción para una base.

Esto es análogo a la situación de los espacios métricos $(X,d)$, donde la base es especificado (todos los conjuntos de la forma $B(x,r) = \{ y \in X: d(x,y) < r \}$ donde $r>0$) y la continuidad entre espacios métricos se expresa a menudo mediante el $\epsilon$-$\delta$ definición, que es igual a 2., excepto el uso de esta base en ambos espacios. Para el producto de espacios, todas las pruebas que implican esencialmente utiliza esta base (o de la subbase de todos los $\pi_s^{-1}[O]$ para abrir conjuntos de $O$$X_s$). Que realmente no necesita una descripción más allá del hecho de que ellos son los sindicatos de los sets básicos.