Preguntas sobre la ecuación de BBM: $-u_{txx}+u_{t}=u_{x}$ , $u(x,0)=u_0(x)$ , $x,t\in{\bf R}$

Question

Considere la Ecuación de BBM : $$-u_{txx}+u_{t}=u_{x},\quad u(x,0)=u_0(x),\quad x,t\in{\bf R}$$

Se puede reescribir como

$$u_t=((I-A)^{-1}\partial_x)u$$ donde $Au=u_{xx}$ si $(I-A)^{-1}$ existe.

Estas son mis preguntas:

1. En $(I-A)^{-1}$ ¿siempre existen?
2. ¿Existe un operador integral $K:L^2({\bf R})\to L^2({\bf R})$ tal que $K=((I-A)^{-1}\partial_x)$ ?

Answer 1

En $L^2(\bf R)$ Sí, $(I - \frac{d^2}{dx^2})^{-1}$ existe. Corresponde mediante la transformada de Fourier a la multiplicación por $1/(1 + p^2)$ y su $K$ corresponde a la multiplicación por $i p/(1 + p^2)$ o la convolución con la transformada de Fourier inversa de ésta, es decir $i {\rm sgn}(x) e^{-|x|}/2$ .