Cuando me enseñaron la clasificación teorema, mi profesor hizo hincapié ser capaz de calcular la característica de Euler, y sus ejemplos favoritos establecer como ejercicios fueron Seifert superficies.
Por ejemplo, usted puede intentar para el cálculo de la característica de Euler de la Hopf enlace: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hopf_band_wikipedia.png.
O algo más raro, como esta de la superficie: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Borromean_Seifert_surface.png
Estas dos imágenes se encuentran en el artículo de la Wikipedia para Seifert superficies. Usted podría fácilmente sacar más complicado Seifert superficies, y su Euler características no son tan evidentes para calcular. La forma más sencilla para el cálculo de la característica de Euler de estas dos superficies es el uso de la inclusión-exclusión principio para la característica de Euler:
$$ \chi(A\cup B) = \chi(A) + \chi(B) - \chi(A\cap B).$$
Esto le permite descomponer la superficie más manejables objetos, como unidades de disco, líneas y puntos, para lo cual deberá tener la característica de Euler ya. Así Euler característica se convierte en un cálculo recursivo.
Puede determinar orientability de estas superficies con bastante facilidad. Considere la posibilidad de un plano de proyección de la Hopf enlace de la superficie: es sólo la de Hopf de enlace, con la región que consta de la superficie marcada (tal vez la sombra). Imagina que el color de las regiones de la Hopf enlace con el negro y el blanco, así: primer color de cualquier región negro. Mover a una región vecina de la primera región, es decir, separados por un cruce de enlace (un toque), y la etiqueta de la región de blanco. A continuación, repita, cambiar de color cada vez que se mueve a través de un giro. Si este colorante es consistente, entonces la superficie es orientable. De lo contrario, es no orientable. Así que el Hopf enlace es fácilmente demostrado por este algoritmo para ser orientable; por otro lado, la Seifert superficie del nudo de trébol es no orientable.
Por último, el número de componentes del borde es trivial para contar.
Una vez que usted tiene todos estos ingredientes, puede utilizar la clasificación de las superficies con el límite para ver lo que la superficie es. Me fomentar el uso de la Seifert superficie de un trébol para resaltar la no-orientable caso.
Otra forma de utilizar la clasificación es el teorema de poligonal representaciones de superficies, por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/File:KleinBottleAsSquare.svg. Si usted tiene una representación de una superficie como un disco con ciertos pares de lados identificado, entonces usted puede encontrar fácilmente su característica de Euler a través de la fórmula de $$\chi = V-E+F.$$
Aquí tenemos que determinar $V$, $E$, y $F$. $F=1$ si estamos considerando sólo un disco, ya que es la única $2$-dimensional de componentes. Para $E$, ir alrededor de la frontera del disco y contar el número de aristas, con la identificación de los bordes contando una vez. Para $V$, hacer lo mismo, hacer el seguimiento de que los vértices terminan identificado. Para la botella de Klein ejemplo, en la imagen, tenemos $F = 1$, $E = 2$, y $V = 1$, por lo que la característica de Euler es $1-2+1 = 0$. La botella de Klein no tiene límites, por lo que el teorema de clasificación de los estados $0 = 2-2g$, lo $g=1$. Por tanto, la botella de Klein es cerrado y nonorientable con género $1$, lo que determina su homeomorphism clase.
Estrictamente hablando, este es un caso especial de las superficies con límite: el número de componentes del borde es el número de nonidentified bordes. Pero, en cualquier caso, esto le da una manera fácil de generar complicado con las superficies fácilmente computable clasificaciones: tómate $n$de lados del polígono con $n$ tan grande como desee, arbitrariamente poner orientaciones en los bordes, identificar pares de bordes, y comenzar a trabajar de computación $V$, $E$, y $F$. La superficie no es orientable si hay un par de identificados los bordes de ambos orientados en sentido horario o en sentido antihorario alrededor del disco: básicamente, si los bordes pueden estar orientados $+$ (a la derecha) y $-$ (a la izquierda), a continuación, un no-orientable par es $++$ o $--$. Así orientability es un simple cheque. Encontrar el número de componentes del borde, y ahora usted tiene la característica de Euler, el número de componentes del borde ($0$ si sólo asegúrese de que todos los bordes están identificados con los otros; usted necesitará un par de lados del polígono para ello), y el orientability de la superficie, todo lo que usted necesita para calcular el género. Por lo tanto se puede clasificar en todas las superficies.
