En el Artículo de Wikipedia sobre el producto cruzado es dice que un vector $a$ que es a su vez un producto cruzado (es decir $a=c\times d$ ), puede representarse en la expresión $a \times b$ para algún otro vector $b$ por la matriz $$[a]_{\times}=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$$ donde $a\times b = [a]_{\times} b = (dc^T - cd^T)b = (c\times d)\times b$ .
Me pregunto si esta representación matricial del producto cruzado de un vector codifica alguna de las otras propiedades del producto cruzado.
No veo la forma de extraer un escalar para reproducir el triple producto escalar.
Su determinante y su rastro son siempre $0$ .
$[a]_{\times}^T=-a$
Su norma de Frobenius es $\sqrt{a_2^2+a_3^2+a_1^2+a_3^2+a_1^2+a_2^2} = \sqrt{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=\sqrt{2}\|a\|$ . Así que hasta un factor de $\sqrt{2}$ la norma de Frobenius es la misma que la norma de $a$ .
Un vector ortogonal a $c$ y $d$ (encontrar dicho vector es uno de los principales objetivos del producto cruzado) será un miembro del núcleo de esta matriz. $\operatorname{Ker}[a]_{\times}=t\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}$
Esto significa que el plano abarcado por $c$ y $d$ es el espacio de filas de $[a]_{\times}$ porque $\operatorname{Ker}(A)^{\bot} = \operatorname{Row}(A)$ para todas las matrices $A$ . Y como esta matriz es igual a su transposición negativa, el plano también está dado por el espacio de columnas de $[a]_{\times}$ .
La cartografía $[a]_{\times} \mapsto a$ es lineal, por lo que si alguien pudiera llegar a una expresión explícita para este mapeo, entonces podríamos expresar el triple producto escalar en términos de ese mapeo. Es decir, que $T$ sea el nombre de ese mapeo, entonces $T(a)\cdot b = (c\times d) \cdot b$ Aunque admito que esto es una trampa. Aun así, sería útil tener una expresión explícita para $T$ .
¿Existen otras propiedades útiles de esta matriz?
