La paradoja de Russell y los fundamentos de la teoría de la medida

Question

Teoría de la medida fue establecida en la ingenuidad de la teoría de conjuntos(No totalmente seguro). Pero después de que Russell descubrió la paradoja nombrado por él, la teoría de conjuntos fue reconstruida en el sentido de axiomatization.

Mi pregunta es en el capítulo primero de muchos teoría de la medida los libros de texto, hay un conjunto de introducción a la teoría, lo más probable que describe la ingenua teoría de conjuntos. ¿Cómo puedo estar convencido de que la teoría de la medida es riguroso? O puedo simplemente tomar como supuesto que no es, y el enfoque mediante la introducción de la ingenua teoría de conjuntos es sólo porque es más fácil de entender?

Y podríamos encontrar un ejemplo de la paradoja, cuando el uso de teoría de la medida, e.g a analizar integrabilidad.

Answer 1

La única diferencia práctica (siempre y cuando uno no trabaja cerca de los cimientos de las matemáticas, al menos) entre ingenua de la teoría de conjuntos y la teoría de conjuntos axiomática es que los axiomas decir que hay ciertas cosas que simplemente no se puede hacer - como sin restricciones de comprensión y de conjuntos tiene que ser justificado, y ninguno de los cultivos en teoría de la medida desde la parte más complicada conjunto teórico de "cosas" que hacemos comienza con un conjunto $X$, considera $\sigma$-álgebras en $X$, es decir, ciertos subconjuntos de a $\mathcal{P}(X)$, el juego de poder de $X$, por lo que la colección de todos los $\sigma$-álgebras en $X$ es un subconjunto de a $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$. En particular, usted nunca se queda sin restricciones en la comprensión porque siempre estás garantizado para tener un conjunto para hacer de la comprensión, y estas "estructuras anidadas" que conduzca a la no-wellfoundedness no pasa esencialmente por la misma razón.