Encontrar la Base Dual

Question

Definir los cuatro vectores en $\mathbb{R}^4$ por

$$v_1=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), v_2=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), v_3=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), v_4=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right). $$

Ahora estoy pidió a encontrar la base dual de a$\{v_1,v_2,v_3,v_4 \}$$\mathbb{R}^4$, con cada vector se expresa como una combinación lineal de la base estándar en $\mathbb{R}^4$.

Ahora, esta es una de esas situaciones donde I 'saber' todos los bookwork respecto de doble bases, etc. sin embargo, lo que parece una simple aplicación presenta bastante complicada.

Cualquier explicación de cómo el progreso sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $\{u_1,\ldots,u_4\}$ ser la base dual de la base de $\{v_1,\ldots, v_4\}$, para ser escrito como coordinar la (columna) de los vectores en relación con el nivel base de la $\mathbb{R}^4$. Por definición de la base Dual, estos conjuntos se biorthogonal, que es, $u_i^T v_j = \delta_{ij}$, para todos los $i,j$.

Deja $$ U = \left[\begin{matrix} u_1 &u_2& u_3& u_4 \end{de la matriz}\right] $$ y $$ V = \left[\begin{matrix} v_1 &v_2& v_3& v_4 \end{de la matriz}\right]. $$

Ahora el biorthogonality ecuaciones se puede expresar como $$U^T V = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{de la matriz}\right] = I. $$

Por eso, $U^T=V^{-1}$, que se puede fácilmente calcular, y la doble base está formada por las columnas de la U.

Answer 2

Por lo que usted necesita para encontrar $u^m$ (con covariante de notación) tales que $$\boldsymbol{u^m}\cdot \boldsymbol{v_n}=\delta^m_n$$ Teniendo en cuenta que $$v_1=e_1$$ $$v_2=e_1+e_2$$ $$v_3=e_1+e_2+e_3$$ $$v_4=e_1+e_2+e_3$$ donde $e_n$ son los vectores de la ortonormales Euclidiana base y la escritura $$\boldsymbol{u^m}=u_{1m}e^1+u_{2m}e^2+u_{3m}e^3+u_{4m}e^3$$ Es muy fácil encontrar los coeficientes consecutivos cálculos de los productos escalares. Recordemos también que Euclidiana ortonormales base es dual a sí mismo. También es posible escribir el resultado en una forma más concisa que es una generalización de que para $\mathbb{R}$ y es esencialmente la aplicación de Kramer fórmula para el sistema lineal resultante $$\boldsymbol{u_{i}}=\frac{1}{\Delta}\left|\begin{array}{cccc} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4}\\ v^{j1} & v^{j2} & v^{j3} & v^{j4}\\ v^{k1} & v^{k2} & v^{k3} & v^{k4}\\ v^{l1} & v^{l2} & v^{l3} & v^{l4} \end{array}\right|$$

donde $$\Delta=\left|\begin{array}{cccc} v_{11} & v_{12} & v_{13} & v_{14}\\ v_{21} & v_{22} & v_{23} & v_{24}\\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & v_{34}\\ v_{41} & v_{42} & v_{43} & v_{44} \end{array}\right|$$ es el volumen de la paralleliped construido en $\boldsymbol{u_n}$ Ambos métodos deben conducir a la respuesta $$\begin{aligned}\boldsymbol{v}^{1}=\left(1,-1,0,0\right)\\ \boldsymbol{v}^{2}=\left(0,1,-1,0\right)\\ \boldsymbol{v}^{3}=\left(0,0,1,-1\right)\\ \boldsymbol{v}^{4}=\left(0,0,0,1\right) \end{aligned}$$