La ecuación de $\{x^2\} + \{x\}=1$ no tiene solución a través de racionales positivos

Question

Probar que no existe positivos racionales $x$, de modo que $$\{x^2\} + \{x\}=1 \tag1 $$

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Deje $x=\frac p q$ $p=qc+r, p, q, c, r \in \mathbb{N}, 0 \le r \lt q$

A partir de (1) $\{ 2c \frac r q + (\frac r q)^2\} + \{\frac r q\}=1$ y aquí me tienes atrapado.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $\{x^2\} + \{x\} = 1$, $x^2 + x$ es un número entero. Resolver la ecuación de $x^2 + x = n$ por un arbitrario $n$, y ver que si tiene soluciones racionales, entonces los racionales deben ser números enteros, lo que significa que $\{x^2\} + \{x\} = 0$.

A ver que $x^2 + x$ debe ser un número entero, tenga en cuenta que para cualquier $y$ podemos utilizar la función del suelo escribir $y = \lfloor y\rfloor + \{y\}$. Esto le da $$ x^2 + x = \lfloor x^2\rfloor + \{x^2\} + \lfloor x \rfloor + \{x\} = \lfloor x^2\rfloor + \lfloor x \rfloor + 1 $$ que es un entero.

Answer 2

Supongamos que existe un número racional positivo.

Tenemos $$x^2-\lfloor x^2\rfloor+x-\lfloor x\rfloor =1,$$ es decir, $$x^2+x=\lfloor x^2\rfloor +\lfloor x\rfloor +1$$ Podemos establecer $x:=p/q$ donde $p,q$ son enteros positivos con $\gcd(p,q)=1$, luego $$x^2+x=\frac{p}{q}\left(\frac pq+1\right)=m\tag1$$ donde $m\in\mathbb Z$. A continuación, $$(1)\implies mq^2=p(p+q)\tag2$$ así, existe un entero $k$ tal que $m=pk$, y así tenemos $$(2)\implies q(kq-1)=p$$ lo que se contradice con que $\gcd(p,q)=1$.

Answer 3

EDITAR accidentalmente, he tratado de resolver el problema equivocado. Yo no sabía acerca de la $\{\cdot\}$ la notación para la parte fraccionaria. Este es un intento de mostrar que $x^2+x=1$ no tiene soluciones para $x\in\mathbb{Q}$.

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Aquí está mi intento: Suponga que hay $p,q \in {\mathbb Z}$, de modo que son relativas prime.

$$\left(\frac{p}{q}\right)^2 + \left(\frac{p}{q}\right) = 1\Leftrightarrow\\ \frac{p^2+pq-q^2}{q^2} = 0\Leftrightarrow\\(p+q)(p-q) + pq = 0$$

Para que esto sea cierto $p$ o $q$ deben compartir factores primos con $p+q$ o $p-q$. Pero que sólo puede ser verdad si $p$ $q$ no son relativo prime. Pero podemos exigir a ser a partir de la definición de un número racional.