Ampliar: $e^{\sin z}$ $z = 0$

Question

Necesito consejos para encontrar el Laurent expansión de $\displaystyle e^{\sin z}$ $z = 0$ en una manera más sencilla. Estoy recibiendo el doble de la serie que yo no se puede simplificar.

AGREGÓ:: Puede ser más simple que la de abajo? También tengo que encontrar el radio de convergencia. $$\Large e^{\sin z} = e^{\sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{\small{B(1, -1/3!, \dots , (-1)^n/(2n+1)!)} z^n}{n!}$$

Answer 1

Exponencial de la fórmula.

Supongamos $$ f(x)=a_1 x+{a_2 \over 2}x^2+{a_3 \over 6}x^3+\cdots+{a_n \over n!}x^n+\cdots.$$

Entonces

$$\exp f(x)=e^{f(x)}=\sum_{n=0}^\infty {b_n \over n!}x^n,$$

donde

$$b_n=\sum_{\pi=\left\{\,S_1,\,\dots,\,S_k\,\right\}} a_{\left|S_1\right|}\cdots a_{\left|S_k\right|},$$

y el índice de $\pi$ se ejecuta a través de la lista de todas las particiones $\{S_1,\ldots,S_k\}$ del conjunto de $\{1,\ldots,n\}$. (Al $k=0$ el producto está vacía y así es igual a $1$.)

Tenemos $a_1=-a_3=a_5=-a_7=\cdots=1$$a_2=a_4=a_6=\cdots=0$.

Así que supongamos que queremos $b_4$. Hay $15$ particiones de $\{1,2,3,4\}$: uno correspondiente a $1+1+1+1$, seis correspondientes a $2+1+1$, tres correspondientes a $2+2$, cuatro correspondientes a $3+1$, y la correspondiente a $4$. En este caso podemos descartar aquellas que contengan números, así que sólo necesitamos considerar $1+1+1+1$$3+1$. Tenemos $$ b_4 = a_1^4 + 4a_3 a_1 = 1 - 4 = -3. $$ Del mismo modo, $$ \begin{align} b_0 & & & =1 \\[6pt] b_1 & = a_1 & & = 1 \\[6pt] b_2 & = a_1^2 & & = 1 \\[6pt] b_3 & = a_1^3 + a_3 & & = 1-1 = 0 \\[6pt] b_4 & = a_1^4 + 4a_3 a_1 & & = 1 - 4 = -3 \\[6pt] b_5 & = a_1^5 + 10a_3 a_1^2 + a_5 & & = 1 - 10 + 1 = -8 \\[6pt] b_6 & = a_1^6 + 20 a_3 a_1^3 + 10 a_3^2 + 6a_5 a_1 & & = 6 - 20 + 10 + 1 = -3 \\[6pt] b_7 & = a_1^7 + 35 a_3 a_1^4 + 70 a_3^2 a_1 + 21a_5 a_1^2 + a_7 & & = 1 - 35 + 70 + 21 - 1 = 56 \end{align} $$ Y así sucesivamente.

El radio de convergencia es $\infty$, debido a que esta es una composición de dos funciones, y por lo tanto es una función completa.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\sin(x)}=\cos(x)e^{\sin(x)}$. Igualando los coeficientes de la serie en ambos lados, que es $$ \sum_{k=0}^\infty(k+1)a_{k+1}x^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \sum_{k=0}^\infty a_kx^k $$ obtenemos la siguiente recursión para los coeficientes: $$ a_{n+1}=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^k}{(2k)!}a_{n-2k} $$ Desde $a_0=1$, obtenemos $$ e^{\sin(x)}=1+x+\frac12x^2+0x^3-\frac18x^4-\frac1{15}x^5-\frac1{240}x^6+\frac1{90}x^7+\dots $$ No trabajo a partir de la secuencia de coeficientes, pero sólo sabiendo que los radios de convergencia de ambos $\sin(x)$ $e^x$ son infinitas, el radio de convergencia de la composición también será infinito.

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La generalización en la Misma Idea

Para obtener un resultado similar al de la fórmula Exponencial citado por Michael Hardy, podemos utilizar la idea anterior para obtener una recursividad para general $f$. Suponiendo que $f(0)=0$, e $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_kx^k$ obtenemos la siguiente recursión para $\displaystyle e^{f(x)}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$: $$ a_0=1\quad\text{y}\quad a_{n+1}=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n(k+1)f_{k+1}a_{n-k} $$