¿Cuál es el número compuesto más pequeño

Question

Conseguí la respuesta correcta para el siguiente problema probando todos los números. Lleva mucho tiempo. ¿Alguien puede decirme si hay una manera simple y fácil de resolver el problema?

¿Cuál es el número compuesto más pequeño generado por $p^2-p-1$ donde P es un Prime?

Answer 1

No es una respuesta completa ni mucho menos, pero sí una forma de hacer una conjetura inteligente:

Está claro que ni $2$ ni $3$ divide $p^2-p-1$ cuando $p$ es primo. Esto se debe a que, en $\mathbb{Z}_2$ , $p=1$ o $p=0$ , lo que implica $p^2-p-1=1^2-1-1=1$ o $p^2-p-1=0-0-1=1$ . Un cálculo similar puede hacerse en $\mathbb{Z}_3$ .

Por lo tanto, si queremos $p^2-p-1$ para ser compuesto y ser lo más pequeño posible, es razonable intentar casos en los que $5$ estará en la factorización. Tenga en cuenta que en $\mathbb{Z}_5$ Si $p=3$ entonces $3^2-3-1=9-3-1=0$ . Por lo tanto, podemos empezar a ver los números que dejan resto $3$ cuando se divide por $5$ :

$$3,8,13,18,23...$$ Por lo tanto, puede ser una buena idea probar $3$ o $13$ . $3$ se ve fácilmente que no funciona (sólo porque resulta exactamente en $5$ ), pero $13$ funciona... esto nos deja sólo para comprobar la (bastante pequeña) muestra de números primos menores que $13$ .