Los axiomas de Hilbert son anteriores al desarrollo (o, al menos, la amplia adopción de la lógica simbólica, de modo que se expresan en la parte informal de la lengua, aunque Hilbert se esforzó para que sean tan precisos como pudo.
Entre ellos se incluyen el Axioma de Arquímedes, formulado en un lenguaje que presupone que los números naturales son ya conocidos. Como tal, si queremos formalizar el sistema en un sentido moderno, tendríamos que añadir en algunos maquinaria para hablar acerca de los números enteros, y sería un poco duro para evitar que la maquinaria lo suficientemente poderoso que el teorema de Gödel se les aplicaría.
Además, también hay un Axioma de Completitud que intenta reclamar directamente que la estructura de la que estamos hablando es máxima en un cierto sentido técnico. En la visión moderna de la educación formal de las teorías, esto difícilmente califica como un "axioma" en absoluto, porque no afirmar la verdad de cualquier fórmula interpretarse dentro del lenguaje de la teoría en sí misma. En términos modernos, parece tratar de decir que cada existencial fórmula de cierta forma a lo que es verdadero en algún modelo de los otros axiomas debe ser elevada a la axiomática del estado.
Sin embargo, no está claro que "las fórmulas que son verdaderas en algún modelo de los otros axiomas" son aún recursivamente enumerable, lo que significa que los axiomas de Hilbert, interpretada en este sentido, no son eficaces. En otras palabras, no hay forma sistemática para comprobar si una supuesta prueba es válida o no. Por lo tanto, Gödel del teorema de la incompletitud no se aplica a los axiomas de Hilbert. Parece que al menos plausible que si interpretamos dentro de la teoría de conjuntos en el anterior sentido, tienen $\mathbb R^3$ como único modelo hasta el isomorfismo. (Que es, cualquiera que sea la teoría de los conjuntos en cuestión considera $\mathbb R^3$).
Tarski de axiomas para la geometría se creó después de que la lógica formal era mejor desarrollado. Ellos constituyen una auténtica, efectivamente axiomatized, de primer orden de la teoría, sin ad-hoc de apelaciones en números enteros, de conjuntos, de modelo o teoría. Llegan a tener una completa teoría, porque ellos no son lo suficientemente fuertes para expresar o simular la aritmética.
El precio pagado por la integridad de Tarski del caso es que el lenguaje de los axiomas formulados en no es expresiva suficiente para hablar de incluso finito de conjuntos de puntos, o por ejemplo, general polígonos. Cada teorema tiene que ser probado por separado para los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, y así sucesivamente.
Esta restricción es inevitable para una teoría completa, porque tan pronto como nos extender el lenguaje con una manera de hablar de finito de conjuntos de puntos y líneas en una forma razonable, se puede utilizar los conjuntos como apoderados de números naturales (cada conjunto representa el número de puntos) y comenzar a hablar acerca de suficiente aritmética que Gödel del teorema de la incompletitud se aplican a él.
Más tarde, Tarski dio su propia axiomatization de la geometría Euclidiana, que es enteramente en primer orden la lógica por Gödel integridad del teorema, se puede demostrar su consistencia, es decidable y completa.
Como se ha mencionado en los comentarios, esto es una total falta de comprensión de lo que el teorema de completitud, dice. Tarski de la geometría no puede ni siquiera hablar acerca de su propia consistencia, y mucho menos demostrarlo.
