mostrar que $\frac { 1 }{ 1-a } +\frac { 1 }{ 1-b } +\frac { 1 }{ 1-c } \ge \frac { 2 }{ 1+a } +\frac { 2 }{ 1+b } +\frac { 2 }{ 1+c } $

Question

Deje $a,b,c$ son números positivos,si $$a+b+c=1$$

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mostrar que $$\frac { 1 }{ 1-a } +\frac { 1 }{ 1-b } +\frac { 1 }{ 1-c } \ge \frac { 2 }{ 1+a } +\frac { 2 }{ 1+b } +\frac { 2 }{ 1+c } $$

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Estoy intentado probarlo pero no pudo.Todas las sugerencias serán apreciados.

Answer 1

$$ f(x) = \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1+x} $$ no es una función convexa en $(0,1)$, ya que: $$ f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}-\frac{4}{(1+x)^3} \geq 0 $$ es equivalente a: $$ \frac{1+x}{1-x}\geq \sqrt[3]{2} $$ pero si tenemos en cuenta que el $f'\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{27}{8}$, no es difícil demostrar la desigualdad algebraica $$ \forall x\in[0,1],\qquad f(x) \geq \frac{27}{8}\left(x-\frac{1}{3}\right) \tag{1}$$ desde $f(x)-\frac{27}{8}\left(x-\frac{1}{3}\right)=0$ es equivalente a $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2\left(x+\frac{1}{3}\right)=0$.

Dado $(1)$ y $a,b,c\in[0,1]$, $\,a+b+c=1$, de ello se sigue que:

$$ f(a)+f(b)+f(c) \geq \frac{27}{8}(a+b+c-1) = 0\tag{2} $$

como quería.

Answer 2

Vamos a utilizar el sigma signo ($\sum$) para cíclico de la suma. Cambiando cada número 1 en $a+b+c$, lo que estamos tratando de demostrar que es equivalente a : $$\sum \frac {1}{a+b} \ge \sum \frac{2}{(a+b)+(c+a)}$$ Vamos $$a+b=x$$ $$b+c=y$$ $$c+a=z$$ Tenemos que demostrar : $$\sum \frac {1}{x} \ge \sum \frac{2}{x+y}$$ Tenemos $$ \frac 1x + \frac 1y \ge \frac 4 {x+y}$$ $$ \frac 1y + \frac 1z \ge \frac 4 {y+z}$$ $$ \frac 1z + \frac 1x \ge \frac 4 {z+x}$$ Mediante la adición de todos los tres lados de todas las tres de las desigualdades anteriores, obtenemos $$\sum \frac {2}{x} \ge \sum \frac{4}{x+y}$$ Dividir ambos lados por 2, obtenemos lo que tenemos que probar.