¿Cuándo "splits" implica "cosplits"?

Question

En la categoría de grupos, hay muchas "secuencias exactas", por ejemplo, 4 → H → 2, que no se dividen ni se costillan, donde H es el grupo de ocho elementos de los cuaterniones, y muchas secuencias como 4 → D → 2 que se dividen pero no se costillan, donde D es el grupo diédrico de ocho elementos. Por "2" y "4" me refiero a los grupos cíclicos de esos órdenes. Por "secuencia exacta" A → B → C, quiero decir que A es el núcleo del cociente B → C (equivalentemente C es el cokernel del subobjeto A → B). Una sucesión A → B → C se "divide" si existe un mapa C → B de modo que la compotición C → B → C es la identidad; la cosplección está en el otro lado.

Por lo tanto, en los grupos, una secuencia exacta dividida no es necesariamente cosplit. (De hecho, me cuesta pensar en secuencias cosplitadas). Por otro lado, mis amigos que hacen teoría de anillos establecen definiciones como "Un anillo es semisimple si cualquier secuencia exacta corta de módulos se divide". ¿Por qué no piden que la secuencia sea cosplit? ¿Esto es gratis? (¿O estoy recordando mal la definición?)

En términos más generales, ¿qué condiciones hay que poner a una categoría para que "splits" implique "cosplits"?

Answer 1

Así que el hecho de que tenía un tiempo difícil pensar en cosplit secuencias de los grupos y la última pregunta me puso a pensar (a lo largo de las líneas de Joel comentario en realidad)... lo que se me ocurrió es probablemente estándar (para la gente que bien sabemos).

Supongamos que la secuencia A-> B-> C es una secuencia exacta de los grupos. A continuación, si se divide B es el cociente del producto libre a*C (el subproducto en fibra de vidrio) y si cosplits B es un subgrupo del producto AxC.
La idea (en la división de caso - esto es suficiente, ya que son dual) es el uso de la característica universal + la división para obtener un mapa de la subproducto. A continuación, utilice el factorizations + precisión + elemento chase para comprobar que es un epi en términos de derecho de cancelación. Podría haber un impermeable manera de hacer esto, pero una manera de obtener de forma gratuita de propiedades universales no se me ocurren.

Esto le da una explicación filosófica de por qué dividir las secuencias son fáciles de encontrar, están dados por una presentación para el B en términos de a y C (por ejemplo, su diedro ejemplo de grupo). Creo que cosplitting parece un poco más raro ya que se trata de definir a un grupo como un subgrupo de un producto es de menos natural a las personas que realmente hacen el grupo de teoría?

No he comprobado, pero sospecho que no se puede tener una división y cosplit secuencia en Grp - parece que el hecho de que no hay biproduct debe ser un obstáculo para esta basado en el anterior, pero no estoy seguro. La clase más grande de las categorías, que viene a la mente cuando Andrew truco funciona sería cuasi-abelian categorías estrictas exacta de secuencias (de manera bastante exacta de las categorías).

Finalmente he pensado que me gustaría señalar algunos whackier ejemplos donde se ha de dividir el fib cosplitting comportamiento. En un triangular de categoría uno tiene que cada monomorphism se divide y cada epimorphism se divide en particular, un triángulo "divide" iff "cosplits". El mismo es verdad para "exacto secuencias de categorías trianguladas". Totalmente fiel exacta functor S -> T reconoce un derecho adjoint (cosplitting) iff T -> T/S admite un derecho adjoint (división).

Answer 2

Sí, es gratis. Una breve secuencia exacta de abelian grupos, o R-módulos (R no necesariamente conmutativo), se divide el fib es cosplits si el término medio es la suma de los otros dos términos. La clave aquí es que los mapas de los módulos y se añaden/resta:

Dejar que el medio de mapas en 0→a→B→C→0 sea f:a→B y g:B→C. si hay una división de p:C→B, entonces (a 1_B-qg):B→B es una proyección sobre Un como un submódulo de B, es decir, un cosplitting. Junto a la división y cosplitting el anexo B como la suma directa de a y C.

Un doble truco muestra que un cosplit secuencias de dividir: si p:B→a es Una cosplitting, entonces (1_B-fp):B→B es una proyección sobre un submódulo de sí mismo que es isomorfo a C a través de g, es decir, un cosplitting, así que de nuevo B es la suma de a y C a través de estos mapas.

Más generalmente, este mismo truco funciona en cualquier abelian categoría. Una manera de reconocer de esta forma es a través de Freyd Exacta de la Incrustación de teorema, que a grandes rasgos implica que puede pretender un diagrama en una abelian categoría es un diagrama de R-módulos para algunos R.

... whoah... son chicos relacionadas?