Deje $C$ ser un círculo de radio $r$ $n$ puntos. Demostrar que existe un punto en el círculo tal que el producto de las distancias desde este punto hasta el otro $n$ puntos es mayor que $r^n$. Así que parece que estamos viendo en los acordes que son de longitud $\leq 2r$. Para mostrar la existencia de un punto, tendría que utilizar de manera constructiva el argumento? O más de un argumento indirecto? Asimismo, para mostrar que la desigualdad se mantiene, podríamos invocar algunos "famosos" las desigualdades tales como AM-GM o de Cauchy-Schwarz?
Respuestas
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Vamos $r>0$, $D=\{z\in\mathbb C:|z|<r\}$, y $S=\{z\in\mathbb C:|z|=r\}$. Pick $n\in\mathbb N$ y distintos puntos de $z_1,\dots,z_n\in S$, y considerar el polinomio $f(z)=\prod_{i=1}^n(z_i-z)$.
Desde $f$ es holomorphic en $\mathbb C$ y no constante, su valor absoluto alcanza su máximo en el disco está cerrado, $D\cup S$ en algún punto de $p$ $S$ y no dentro de $D$. Desde $|f(0)|=r^n$, se deduce que el $|f(p)|> r^n$.
Esto es precisamente lo que quería.
John Fouhy
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759
Podemos tomar $r=1$ por el escalado.
La distancia entre la $e^{i\alpha}$$e^{i\beta}$$2|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}|$. Denota los puntos dados por $e^{i\alpha_i}$ y el punto requerido por $e^{i\beta}$, la distancia total es de
$ \prod_i 2|\sin\frac{\alpha_i-\beta}{2}| $
Ahora vamos a tomar una muestra aleatoria ángulo de $\beta$. El promedio de la multiplicación del valor del seno en $[0,\pi]$$1/2$, véase Wikipedia. Por lo tanto, la multiplicativo valor esperado del producto es $1$.
Si quieres ser más formal, reemplazar "multiplicativo" tomando el logaritmo.
Alex Bolotov
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249
El uso de los números complejos, pero también más elementales (y constructiva) el enfoque de la Máxima Módulo teorema.
Considere el círculo unidad. Es suficiente si se demuestra que el producto de las distancias es mayor que $1$.
De hecho, vamos a demostrar que el producto de las distancias de algún punto es, al menos,$2$.
Vamos a los puntos de $\displaystyle z_1, z_2, \dots z_n$. Girar el círculo, de modo que $\displaystyle (-1)^n \prod_{j=1}^{n} z_j = 1$
Deje $\displaystyle P(z) = \prod_{j=1}^{n}(z-z_j)$.
El producto de las distancias de $\displaystyle z$ $\displaystyle z_j$está dado por $\displaystyle |P(z)|$.
Ahora vamos a $\displaystyle \omega_j$ ser el $\displaystyle n$ $n^{th}$ las raíces de la unidad.
Ya para$\displaystyle 1 \le k < n$, $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} (\omega_j)^k = 0$
tenemos que
$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} P(w_j) = 2n$
Por lo tanto $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} |P(w_j)| \ge |\sum_{j=1}^{n} P(w_j)| = 2n$
Por lo tanto, hay algunos $j$ que $|P(w_j)| \ge 2$.
Así hemos demostrado que hay un punto cuyo producto de distancias a partir de la $n$ puntos es, al menos,$2r^n$.
De hecho, creo que también se puede mostrar que si para todos los puntos, el producto de las distancias es $\leq 2r^n$, $n$ puntos deben estar igualmente espaciados! (Voy a dejar que por ti :-)).
