Número de elementos de un anillo con identidad s.t. $x^2 = 1_R$ para todos $0_R \neq x\in R$ ?

Question

No estoy seguro de cómo encontrar la solución a esta cuestión.

Sea R un anillo con identidad tal que $x^2 = 1_R$ para todos $0_R \neq x\in R$ . ¿Cuántos elementos hay en $R$ ?

He estado jugando con elementos de cuadratura, como $$(x+1_R)^2 = x^2+2.x+1_R =2.x+2.1_R = 1_R.$$

Pero no estoy seguro de a dónde ir con esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Una posibilidad, por supuesto, es $R=\{0\}$ . Supongamos que $1_R\neq 0$ .

$R$ no tiene divisores cero: si $xy=0$ y $x\neq 0$ entonces $y = 1_Ry = xxy = x(0)=0$ .

$R$ es conmutativo: si $x$ y $y$ son distintos de cero, entonces también lo son $xy$ por lo anterior; por lo tanto $(xy)^2 = x^2y^2$ ; cancelando desde $xyxy=xxyy$ obtenemos $yx=xy$ .

(Por supuesto, el anillo satisface $x^3=x$ para todos $x$ Por lo tanto, según un famoso teorema de Jacobson, el anillo es necesariamente conmutativo; pero no necesitamos llamar a ese pesado cañón a la batalla).

Como todo elemento no nulo es invertible, $R$ es un campo. Dado que $x^2-1_R$ tiene $|R-\{0\}|$ soluciones, tenemos $|R-\{0\}|\leq 2$ Así que $|R|\leq 3$ .

Si $1_R+1_R=0$ entonces $R$ es de la característica $2$ Así que $R\cong \mathbb{F}_2$ y $|R|=2$ . Y, efectivamente, en este caso la hipótesis se cumple.

Si $1_R+1_R\neq 0$ , entonces obtenemos $4\cdot 1_R = 1_R$ Por lo tanto $3\cdot 1_R=0$ Así que $R$ es de la característica $3$ y por lo tanto $R\cong\mathbb{F}_3$ y $|R|=3$ . De nuevo, la hipótesis se mantiene para este anillo.

En resumen, $R$ tiene $1$ , $2$ o $3$ elementos, y es el anillo trivial, $\mathbb{F}_2$ o $\mathbb{F}_3$ .

Answer 2

$\rm R=0\:$ obras. Si no $\rm\ x\ne 0$ $\Rightarrow$ $\rm x^2 =1$ $\Rightarrow$ $\rm x^{-1} = x $ $\Rightarrow$ $\rm R$ campo, por lo que $\rm\: x\ne 0\!\iff\!\! (x-1)(x+1) = 0$ $\iff$ $\rm x=\pm 1.\:$ Pero $\rm\: R\backslash0 = \{\pm1\}$ $\!\iff\!$ $\rm R\:\! \cong\:\! \mathbb Z/2\:$ o $\:\mathbb Z/3$ .

De forma más general, los campos finitos $\:\rm\mathbb F_p,\: \mathbb F_q,\ p,q\:$ primo, se axiomatizan mediante los axiomas del anillo más $$\rm x^n =\: x,\quad n\: =\: 1 + lcm(p\!-\!1,q\!-\!1)$$ $$\rm q\:(x^p-x)\: =\: 0\: =\: p\:(x^q-x)$$ $$\rm pq\: =\: 0$$

Así, cualquier identidad verdadera en estos dos campos tiene una demostración puramente ecuacional a partir de los axiomas anteriores. Este teorema se extiende de forma similar a cualquier conjunto finito de campos finitos, por ejemplo, véase Stanley Burris y John Lawrence, Reglas de reescritura de términos para campos finitos (1991). Este resultado está muy relacionado con la prueba teórica del modelo de Jacobson sobre la conmutatividad de los anillos que satisfacen la identidad $\rm\: x^{n_x} =\: x$ .