Cada espacio homogéneo permitir una estructura de grupo?

Question

Deje $(X,\tau)$ ser un espacio homogéneo, que es para todos los $x,y \in X$ hay una homeomorphism $\varphi:X\to X$ tal que $\varphi(x) = y$. Hay un grupo de operación $*:X\times X\to X$ tal que $(X,*,\tau)$ es un grupo topológico?

Answer 1

No necesariamente.

Se puede demostrar que cada conectado topológico grupo tiene la característica de Euler $0$. Ahora toma el $2$-esfera, por ejemplo. Está conectado, y la característica de Euler $\neq0$. Es homogénea, por supuesto.

Answer 2

Otra forma de obtener respuestas negativas: topológico, el grupo no tiene el punto fijo de la propiedad (cada mapa de $X$ a en sí tiene un punto fijo), como una traducción de $x \rightarrow a\ast x$ $a \neq 1$ no tiene un punto fijo.

Pero no son homogéneas, compactas espacio métrico con el punto fijo de la propiedad, por ejemplo, el cubo de Hilbert $[0,1]^\mathbb{N}$, ver a esta pregunta por las razones por las que esto es así.

Answer 3

$S^2$ es un clásico contra-ejemplo. Ver Corolario 9.59(iv) en la p. 486 en

K. H. Hofmann y S. A. Morris, La Estructura de Grupos Compactos, Berlín, 1998.

Permítanme darles un método de producción de no-separables ejemplos. Por Tkachenko del teorema, cualquier $\sigma$-grupo compacto es el ccc. Así que consideramos homogénea $\sigma$-espacios compactos que no son de la ccc. Usted puede construir estos espacios tomando contables de los sindicatos de ciertos (abierto) líneas de largo.