¿Qué es $(-1)^{\frac{2}{3}}$?

Question

Siguientes a partir de esta pregunta, se me ocurrió otra pregunta interesante:
¿Qué es $(-1)^{\frac{2}{3}}$?
Wolfram alpha dice que es igual a un extraño número complejo (-0.5 +0.866 dpi... yo), pero cuando intento yo hacer esto: $(-1)^{\frac{2}{3}}={((-1)^2)}^{\frac{1}{3}}=1^{\frac{1}{3}}=1$.
Si tiene varias "respuestas", debemos llamar siquiera un "número"? Porque si no, sería un poco diferente de lo que nos enseñaron en la escuela primaria. En realidad pensé si no tiene una variable en él, debe ser un número.
Estoy un poco confundida. Cuál es la correcta y por qué? Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Pregunta interesante. Este es un punto sutil, así que voy a decir mucho.

1. No es una función definida y continua en el conjunto de todos los números reales, que es $$ x \mapsto x^{1/3} $$ donde el símbolo $x^{1/3}$ denota el único número real cuyo cubo es $x$. Similares para otras fracciones con $1$ por un numerador y un denominador impar.

2. No es una función definida y continua en el conjunto de todos los positivos números reales, que es $$ x \mapsto x^{1/2} $$ donde el símbolo $x^{1/2}$ denota el único positivo número real cuyo cuadrado es $x$. Sin que la advertencia de "positivo" el símbolo sería ambigua, en contraste con raíces cúbicas. Similar con otras fracciones con $1$ por un numerador y un denominador.

3. No es una función definida y continua en el conjunto de todos los números reales, que es $$ x \mapsto x^2 $$ que no necesita más justificación.

4. Hay una regla para los exponentes que funciona al $x$ es real y positivo: cuando vea $$ x\mapsto x^{ab} $$ usted puede escribir esto como $(x^a)^b$ o $(x^b)^a$. De hecho, esta regla funciona para cualquier fracciones $a, b$.

5. Regla 4 no continuar trabajando cuando $x$ es un número real negativo y $a$ o $b$, se permitió que las fracciones. Por ejemplo, $$ (-1)^1 = (-1)^{(1/2)*2} \neq ((-1)^2)^{1/2} = 1. $$ Tenga en cuenta que aquí el fracaso no tiene nada que ver con los números imaginarios; de hecho, en la anterior igualdad, nunca tomé una raíz cuadrada de un número negativo. Es sólo que el artículo 4 no funciona al $x$ es permitido ser negativo.

6. Por esta razón, es algo peligroso tratar de definir un símbolo como $(-1)^{2/3}$. Por ejemplo, es lo mismo que $(-1)^{4/6}$? Tenga en cuenta que cualquiera de respuesta que usted proporcione será problemático; por un lado $2/3$ es el mismo número de $4/6$, y así cualquier definición que podemos elegir es mejor que nos pongamos el mismo valor; por otro lado, no deberíamos estar hablando de tomar hasta las raíces de números negativos si insistimos en trabajar sólo con números reales.

7. Podemos introducir los números complejos para deshacerse del problema en (6). Sin embargo, al introducir los números complejos, no es cierto que no hay un único número cuyo cubo es un determinado número real. Por ejemplo, como se ha descubierto, por jugar con Wolfram, hay raíces cúbicas de $1$ en el plano complejo distinto de $1$ sí. Por lo tanto, la función definida en (1) se rompe si no se vuelve a insistir en que $x^{1/3}$ ser un valor real.

8. En el plano complejo, lo mejor es pensar que de $x^{1/3}$ como ser un "multi-función con valores", es decir, no una función del todo, pero algo que se lleva en un valor y devuelve varios valores. De hecho, cada número complejo pero $0$ tiene tres "raíces cúbicas."

Answer 2

Como varios comentaristas han señalado, hay tres valores posibles que satisfacen $$x = (-1)^{\frac{2}{3}}.$$ Estos se pueden encontrar mediante la sustitución de -1 con tres formas diferentes de expresar -1 como un complejo exponencial, $e^{\pi i}, e^{-\pi i},$$e^{3 \pi i}$. Sustituyendo en la, nos encontramos con que: $$\begin{align} \left(e^{\pi i}\right)^\frac{2}{3} & = e^{\frac{2}{3} \pi i} \approx -0.5 + 0.866025 i\\ \left(e^{-\pi i}\right)^\frac{2}{3} & = e^{-\frac{2}{3} \pi i} \approx -0.5 - 0.866025 i\\ \left(e^{3 \pi i}\right)^\frac{2}{3} & = e^{2 \pi i} = 1 \end{align}$$

Hay más formas de expresar -1, específicamente $e^{(1 + 2n) \pi i}$ donde $n \in \mathbb{Z}$ es cualquier entero. Esto significa que hay infinitas maneras de expresar -1, y a todos nos va a dar una respuesta válida. Sin embargo, si intenta algunos, te darás cuenta de que son repeticiones de los tres ya hemos visto. Por ejemplo, $$\left(e^{5 \pi i}\right)^\frac{2}{3} = e^{\frac{10}{3} \pi i} = e^{-\frac{2}{3} \pi i}.$$

Answer 3

Si buscamos una respuesta real de dos maneras respuesta es $1$ de los casos complicados de ver otras respuestas $$(-1)^{\frac{2}{3}}=(-1)^{2\cdot\frac{1}{3}}=((-1)^2)^{1/3}=1^{1/3}=1$$ $$(-1)^{\frac{2}{3}}=(-1)^{\frac{1}{3}\cdot2}=((-1)^{1/3})^2=(-1)^2=1$$

Answer 4

Si lees un poco más abajo en Wolfram Alpha usted encontrará todos los 3 de raíces de $(-1)^2$: $$ \begin{align} \operatorname{e}^{\frac{2i\pi}{3}}&\approx 0.5+0.86603i\\ 1&\quad\text{real root}\\ \operatorname{e}^{-\frac{2i\pi}{3}}&\approx 0.5-0.86603i\\ \end{align} $$

Answer 5

La clave es De Moivre del Teorema. Desea que las raíces cúbicas de 1.
Usted podría ser capaz de demostrar que el cuadrado de $\cos\theta+i\sin\theta$ $\cos2\theta+i\sin2\theta$ donde $i$ es la raíz cuadrada de -1.
También, el cubo de $\cos\theta+i\sin\theta$$\cos3\theta+i\sin3\theta$.
Si queremos que el cubo es igual a 1, entonces $3\theta$ puede ser cualquier múltiplo de $2\pi$ porque $\cos2k\pi=1$ $\sin2k\pi=0$ para cualquier entero $k$.
A continuación,$\theta = 2k\pi/3$. Por ejemplo, si $k=1$, nos encontramos con $\theta=2\pi/3$, y
el cubo de la raíz es $\cos\theta+i\sin\theta=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)=-0.5+i0.866...$