Aplicación del teorema fundamental del cálculo

Question

Tengo este problema:

$$ \frac{d}{dx} \left( \int_{\sqrt{x}}^{x^2-3x} \tan(t) dt \right) $$

Sé cómo encontrar la derivada de la integral de la constante $a$ a la variable $x$ Así que..:

$$ \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) dt \right) $$

pero no sé cómo hacerlo entre dos variables, en este caso de $\sqrt{x}$ a $x^2-3x$

Muchas gracias.

Answer 1

Primero trabajamos formalmente: puedes escribir tu integral, digamos $F(x)=\int_a^{g(x)}f(t)\,dt-\int_a^{h(x)}f(t)\,dt$ , donde $f,g$ y $h$ son las funciones que aparecen en su problema, y $a\in\mathbb R$ es constante. A continuación, puedes aplicar la regla de la cadena junto con el teorema fundamental del cálculo para derivar la diferencia anterior.

¿Qué queda? la existencia de tal $a$ : Recordemos que por definición las integrales superiores e inferiores de Riemann se definen para acotado por lo que se requiere que su integrando $\tan$ está acotado en uno de los dos posibles intervalos de integración $I=[f(x),g(x)]$ o $J=[g(x),f(x)]$ . Esto ocurre sólo cuando

$$\sqrt x,\,x^2-3x\in\Bigl(-\frac{\pi}2+k\pi,\frac{\pi}2+k\pi\Bigr),\ \style{font-family:inherit;}{\text{for some integer}}\ k\,.\tag{$ \ de la que se ha hablado en la página web. $}$$

Dado que ambos $\sqrt{x}$ y $x^2-3x$ son funciones continuas, el conjunto de los valores $x$ satisfaciendo que la inclusión anterior no esté vacía (ejercicio fácil que se le deja a usted) y abierta en $\mathbb R$ por lo que es una unión contable de intervalos abiertos. Cuando se intenta calcular la derivada, se trabaja localmente, es decir, en algunos de estos intervalos, por lo que simplemente se elige un fijo elemento $a$ en dicho intervalo, y proceder como se indica al principio.

Si no está familiarizado con la noción de "conjunto abierto", basta con resolver explícitamente la ecuación $(\mathbf{I})$ y ver qué pasa.

Answer 2

Una pista: Dejemos que $F(t)$ sea una antiderivada de $\tan t$ . Podemos encontrar una fórmula explícita para $F(t)$ pero es mejor no hacerlo.

Entonces nuestra integral es $F(x^2-3x)-F(\sqrt{x})$ . Diferencie, utilizando el Regla de la cadena y recordando que $F'(u)=\tan u$ .

Answer 3

En general, por la regla de la cadena, tenemos $$\dfrac{d}{dx} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right) = \dfrac{d g(x)}{dx} \dfrac{d }{d g(x)} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right) + \dfrac{d f(x)}{dx} \dfrac{d }{d f(x)} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right)$$ Ahora haz uso del teorema fundamental del cálculo para concluir que $$\dfrac{d }{d g(x)} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right) = h(g(x))$$ $$\dfrac{d }{d f(x)} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right) = -h(f(x))$$ Por lo tanto, $$\dfrac{d}{dx} \left(\int_{f(x)}^{g(x)} h(t) dt\right) = \dfrac{d g(x)}{dx} h(g(x)) - \dfrac{d f(x)}{dx} h(f(x))$$

Una versión ligeramente más generalizada es la Regla integral de Leibniz .