Es cualquier tipo de geometría $not$ ¿"infinitesimalmente euclidiano"?

Question

Pregunta: ¿Existe alguna ( geometría absoluta) que no es "infinitesimalmente euclidiano"?

Contexto: Todas las geometrías que aparecen en la página de Wikipedia " Fundamentos de la geometría "(que describen las formulaciones axiomáticas de la geometría) parecen corresponder a casos especiales de la geometría absoluta, y parece que cualquier geometría absoluta es hiperbólica, elíptica o euclidiana (¿parabólica?) según la versión del postulado de las paralelas que se utilice, quizá de forma equivalente según el tipo de curvatura del espacio geométrico subyacente. Todos ellos parecen tener realizaciones o modelos como variedades riemannianas de algún tipo.

Cualquier geometría de variedades (suaves) parece ser infinitesimalmente euclidiana, incluso para las que no tienen una métrica riemanniana, ya que cada vecindad es (difeomorfa) homeomorfa al espacio euclidiano.

La geometría hiperbólica parece ser el estudio de las variedades riemannianas con curvatura negativa, la geometría elíptica el estudio de las variedades riemannianas con curvatura positiva, y la geometría euclidiana el caso especial en el que no hay curvatura. Pero, obviamente, toda vecindad de una variedad riemanniana es un espacio euclidiano difeomorfo, por lo que incluso la geometría riemanniana de espacios como el toro, que no es estrictamente elíptica ni hiperbólica, es infinitesimalmente euclidiana.

Por lo tanto, me parece que todos los axiomas geométricos elementales determinan todos los aspectos del espacio geométrico (por ejemplo, que debe ser una variedad riemanniana) excepto la curvatura -- por lo tanto, los cambios en el postulado paralelo parecen corresponder a diferentes valores de la curvatura del espacio.

¿Lo he entendido bien? Antes pensaba que el término geometría podía aplicarse a espacios tan abstractos que no podían incrustarse en ningún espacio euclidiano, y en particular no eran infinitesimales de Euclides, pero ahora no estoy tan seguro. Se agradecería cualquier aclaración. La pregunta proviene en parte de mi lectura de "Geometría elemental" de Agricola y Friedrich (también de la versión original en alemán), así que quizás si también has leído algo de ese libro puedas entender mejor el origen de mi malentendido.

Answer 1

Sé que esta es una pregunta antigua, pero acabo de descubrirla, y estoy un poco confundido por las respuestas de los demás, porque hay un problema evidente con la siguiente afirmación que haces:

Cualquier geometría de variedades (suaves) parece ser infinitesimalmente euclidiana, incluso para las que no tienen una métrica riemanniana, ya que cada vecindad es (difeomorfa) homeomorfa al espacio euclidiano.

Estás confundiendo la categoría de los colectores suaves con la categoría de los colectores riemannianos, o el tema de la topología diferencial con el tema de la geometría diferencial .

Más concretamente, se trata de no tiene sentido hablar de "geometría" en la categoría de meros manifiestos lisos (aunque a menudo aprendemos sobre el aparato de los manifiestos lisos desnudos en cursos llamados "geometría diferencial"). La "geometría" es definido por la métrica de Riemann y es algo más que la estructura lisa desnuda. Por lo tanto, no tiene ningún sentido afirmar que "la geometría de cualquier variedad lisa es infinitesimalmente euclidiana": ¡en primer lugar, no hay geometría de la que hablar! Sólo difeomorfismos no capturan, transportan ni conservan la geometría; isometrías hacer.

Por lo tanto, sí, toda variedad lisa es localmente difeomorfa al espacio euclidiano, y sí, esto no tiene nada que ver con que la variedad esté o no dotada de una estructura métrica. Por tanto, no hay invariantes locales en la topología diferencial, por la razón que tú dices: todos los objetos de la categoría de las variedades lisas son localmente difeomorfos. Pero hay son invariantes locales en geometría diferencial; no todos los objetos en que son localmente isométricos.

Answer 2

Riemann, en su famoso ensayo de 1854, sólo consideró las métricas que son infinitesimales. Por ello, la geometría de Riemann, propiamente dicha, sólo se ocupa de este tipo de colectores. Una generalización se conoce como espacios de Finsler. Aquí el espacio infinitesimal se parece a un espacio de Banach, que es más general que el espacio euclidiano.

Answer 3

El tema de la topología, y su subtema de los espacios métricos, contiene muchos ejemplos de espacios de "geometría absoluta" que no son infinitesimales de Euclides, ni en el sentido métrico, ni en el sentido suave, ni en el sentido topológico. En estas asignaturas abundan muchos ejemplos naturales.

Por ejemplo, una dimensión infinita Espacios de Hilbert que tienen muchos ejemplos entre los espacios de funciones, no son localmente homeomórficos al espacio euclidiano. Y, sin embargo, su geometría es de gran interés. Echa un vistazo a cualquier libro de análisis funcional.

Para otro ejemplo, hay toda una teoría dedicada a espacios métricos de curvatura no positiva . Ver el libro de Bridson y Haefliger para una mejor percepción.

Answer 4

Consideremos la geometría de la superficie de un cono. La curvatura es singular en una dirección alrededor del borde inferior, y en todas las direcciones en la punta. Por lo tanto, la geometría ni siquiera es aproximadamente euclidiana en esos puntos. Para un espacio que no es aproximadamente euclidiano en ninguna parte, se está entrando en el dominio de los fractales, como el que formaría algún análogo de dimensión superior del Función de Weierstrauss . No estoy seguro de que la geometría de un espacio tan complicado pueda ser axiomatizada en una geometría absoluta. Creo que merece la pena echarle un vistazo.

Answer 5

La geometría es lo que los matemáticos llaman geometría.

La geometría plana absoluta, refiriéndose a la teoría que has enlazado, no intenta ser una teoría general de la geometría, sino que axiomatiza una extremadamente estructura rígida que abarca exactamente dos modelos: el plano euclidiano y el plano hiperbólico.

Que yo sepa, las únicas razones reales de la teoría son:

• para proporcionar el escenario en el que se puede considerar la pregunta "¿se puede demostrar el postulado del paralelo?"
• un punto de partida para el aprendizaje de la geometría hiperbólica