¿Por qué es de $x^0 = 1$, excepto cuando $x = 0$?

Question

¿Por qué es cualquier número (distinto de cero) a la potencia de cero igual a uno? Por favor, incluya en su respuesta una explicación de por qué $0^0$ debe ser indefinido.

Answer 1

Para los no-cero bases y exponentes, la relación $ x^x^b = x^{a+b} $ tiene. Para que esto hará sentido con un exponente de $ 0 $, $ x^0 $ debe ser igual a uno. Esto le da a usted:

$ x^a \cdot 1 = x^a\cdot x^0 = x^{a+0} = x^$

Cuando la base es también cero, no es posible definir un valor de $0^0$ porque no hay ningún valor que sea compatible con todas las necesarias limitaciones. Por ejemplo, $0^x = 0$ y $x^0 = 1$ para todo positivo de $x$ y $0^0$ no puede ser coherentes con estos dos.

Otra forma de ver que $0^0$ no puede tener una definición razonable es buscar en la gráfica de $f(x,y) = x^y$, que es discontinua alrededor de $(0,0)$. Ningún valor elegido de $0^0$ evitará esta discontinuidad.

Answer 2

Si $a$ y $b$ son números naturales, entonces $a^b$ es el número de maneras que usted puede hacer una secuencia de longitud $b$ donde cada elemento de la secuencia es elegido a partir de un conjunto de tamaño $a$. Está permitido que los reemplazos. Por ejemplo, $2^3$ es el número de 3 dígitos secuencias donde cada dígito es cero o $1$: $000, 001, 010, \ldots, 111.$

No es precisamente una manera de hacer cero la longitud de la secuencia: uno. Así que usted esperaría de $0^0=1$.

Answer 3

$$0^x = 0, \quad x^0=1$$

ambas son verdaderas, cuando $x>0$.

¿Qué sucede cuando $x=0$? Es indefinido porque no hay manera de elegir una definición sobre el otro.

Algunas personas definen $0^0 = 1$ en sus libros, como Knuth, porque $0^x$ es menos "útil" de $x^0$.

Answer 4

Los exponentes son sólo "básicamente" que se define en los números naturales distintos de cero. Con esto quiero decir, que se define como "la multiplicación iterada" de la misma manera que la multiplicación se define como la adición iterada.

La propiedad $a^0 = 1$ sólo surge cuando nos fijamos en la generalización de la multiplicación de los números enteros. Hacemos esto a través de: \begin{align} a^4 / a^3 &= (a\cdot a\cdot a\cdot a)/(a\cdot a\cdot a) = a^1\\ a^4 / a^3 &= a^{4-3} = a^1 \end{align}

Y con esto, podemos decir:

$$a^2 / a^3 = a^{-1} = 1$$

y también: \begin{align} a^2 / a^2 &= 1\\ a^2 / a^2 &= a^{2-2} = a^0 = 1 \end{align}

Por lo tanto decimos que $a^0 = 1$.

Sin embargo, tenga en cuenta que estas pruebas no tienen ningún significado cuando $a=0$, porque todo el concepto/idea consiste en fracciones, y usted no puede tener cero en el denominador.

Cuando decimos que $2^0 = 1$, en realidad queremos decir:

$$ 2^{1-1} = 2^1 / 2^1 = 2/2 = 1$$

Pero no podemos decir lo mismo de $0^0$: $$0^{1-1} = 0^1/0^1=0/0=\texto{INDEFINIDO}$$