Posibles estructuras de productos de copa en un colector

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación y me encontré con este problema:

Dejemos que $M$ sea una 4manifold cerrada orientable y conectada con $H^1(M) = H^3(M) = 0$ y $H^2(M) \cong H^4(M) \cong \mathbb Z$ . ¿Cuáles son las posibles estructuras de los productos de la copa en $H^*(M)$ ?

Mis pensamientos: Usando las propiedades de los anillos graduados, vemos que el producto estará determinado por $\alpha^2 \in H^4$ , donde $\alpha$ es un generador de $H^2$ . Si arreglamos $\beta$ un generador de $H^4$ entonces $\alpha^2 = n\beta$ Así que parece que hay una estructura distinta para cada $n \in \mathbb Z$ .

Mi pregunta es: ¿hay algo especial en el anillo de cohomología $M$ que restringe aún más las posibilidades? De alguna manera, mi respuesta parece demasiado fácil.

Answer 1

Denotaré por $LH^*$ la parte libre del anillo de cohomología. (Esto significa que $LH^r(M)$ es $H^r(M)/\mathrm{torsion part}$ .) Para un manificio conectado de 4 dimensiones, la forma simétrica $I : LH^2(M) \times LH^2(M) \to \mathbb Z$ definido por $\alpha \smile \beta = I(\alpha, \beta) [M]$ es no degenerada (es una de las consecuencias de la dualidad de Poincaré). Por definición, esto significa que el mapa $LH^2(M,\mathbb Z) \to \mathrm{Hom}(LH^2(M),\mathbb Z)$ es una biyección: en términos más pedestres, eso significa que la matriz de $I$ tiene un determinante $\pm 1$ ). Así que, en su caso, $n$ es $1$ o $-1$ .

Se dan los dos casos: se obtiene $n=1$ con $\mathbb P^2(\mathbb C)$ y $n=-1$ con el mismo colector con la orientación invertida.