Así que mi libro demuestra la convergencia de $\Gamma(z) = \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$, en la mitad derecha del plano de $Re(z) > 0$, y luego se va a demostrar la inicial relación de recurrencia $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ aplicando integración por partes a $\Gamma(z+1)$:
$$\int_0^{\infty}t^{z}e^{-t}dt = -t^ze^{-t}|_0^{\infty} + z\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
El libro se afirma explícitamente que esta igualdad sea verdadera sólo en la mitad derecha del plano, ya que de lo contrario $-t^ze^{-t}|_0^{\infty} = \infty$, en lugar de igualándolo a cero. Con esta inicial de la recurrencia de la relación que estamos 'supposably' capaz analíticamente continuar la función Gamma con a $Re(z) > -1$ (no se incluye el origen) por escrito la relación de la forma:
$$\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z}$$
Lo que no entiendo es esta relación es todavía cierto sólo en la mitad derecha del plano, ya que de lo contrario $-t^ze^{-t}|_0^{\infty}\neq 0$. No veo qué razón tenemos para creer que, por ejemplo, $\Gamma(-\frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}$.
Además $\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ está claro que no es convergente en la mitad izquierda del plano, así que ni siquiera puedo imaginar por qué sería plausible pensar que una relación de recurrencia directamente sobre la base de los que podría conducir a una auténtica continuación analítica de su dominio.
