¿Es cada función $f$ en $ \mathbb R^2$ tal que $f(x,y) \le g(x) + g(y)$ por cada $(x,y)$ para alguna función $g$ en $\mathbb R$ ?

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Por cada $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ existe $g:\mathbb R \to \mathbb R$ , de tal manera que $f(x,y) \le g(x) + g(y)$ para todos $x,y \in \mathbb R$ .

No lo creo. Sin embargo, no he podido encontrar un contraejemplo.

En caso de que no sea así, ¿qué condiciones podríamos imponer a $f$ para que la afirmación sea verdadera?

Answer 1

Para cada continuo $f$ Hay tal $g$ . Definir $\displaystyle g(x)=\max_{[-x,x]\times[-x,x]}|f|$ , donde si $x$ es negativo, $[-x,x]$ es realmente $[x,-x]$ . Como el dominio es compacto, el máximo existe, por lo que $g$ es una función bien definida. Además, está claro que $(x,y)$ estará en $[-x,x]^2$ o $[-y,y]^2$ ya que $|x| < |y|$ en cuyo caso estará en el segundo conjunto, o $|y| \le |x|$ , en cuyo caso está en el primer conjunto. En cualquier caso, $f(x,y) \le g(x)+g(y)$ ya que es menor o igual que una de ellas sola, y ciertamente es menor que su suma.

En general $f$ No estoy seguro.

Answer 2

El ejemplo $$ f\left(x,y\right)=\begin{cases} \frac{1}{\left|x-y\right|}, & x\neq y,\\ 0, & x=y \end{cases} $$ realmente funciona. Supongamos hacia una contradicción que tenemos $$ f\left(x,y\right)\leq g\left(x\right)+g\left(y\right) $$ para alguna función $g$ .

Dejemos que $$ M_{n}:=\left\{ x\in\mathbb{R}\,\mid\, g\left(x\right)\leq n\right\} . $$ Tenga en cuenta que $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_{n}$ para que al menos uno de los conjuntos al menos uno de los conjuntos $M_{n}$ es incontable. Como tal, tiene un punto de acumulación en sí mismo (de lo contrario, consta de puntos aislados y por tanto es contable, véase Puntos de acumulación de conjuntos incontables ).

Por lo tanto, existe una secuencia $\left(x_{m}\right)_{m}$ en $M_{n}$ con $x_{m}\to x$ para algunos $x\in M_{n}$ y con $x_{m}\neq x$ para todos $m$ . Así, $$ \infty\xleftarrow[m\to\infty]{}\frac{1}{\left|x_{m}-x\right|}=f\left(x_{m},x\right)\leq g\left(x_{m}\right)+g\left(x\right)\leq2n, $$ una contradicción.

EDIT: Nótese que la propiedad de existencia de dicha función $g$ como quieres tener sólo depende de la cardinalidad del conjunto en el que $g$ se define ( $\Bbb{R}$ en su caso). Si no lo ve, tenga en cuenta que $f,g$ son funciones arbitrarias, por lo que se puede transferir $g$ utilizando una biyección (¡piensa en ello!).

Así, para cualquier conjunto de la cardinalidad del continuo, no existe tal función $g$ en general.

Sin embargo, para los conjuntos contables, la afirmación es cierta. Para ver esto, dejemos que $f : X\times X \to \Bbb{R}$ con $X$ contable (infinito, de lo contrario, la afirmación es trivial). Digamos que $X = \Bbb{N}$ . Ahora defina (similar a la respuesta de @jgon) $$ g(n) := \max \{ 0, \max_{i,j \leq n} f(i,j)\}. $$ Tenemos entonces para $n := \max \{x,y\}$ $$ f(x,y) \leq \max_{i,j \leq n} f(i,j) = g(n) \leq g(x) + g(y), $$ donde el último paso utilizó que $n = x$ o $n=y$ y $g \geq 0$ .

Por último, para las funciones continuas, la afirmación también es válida como se indica en la respuesta de @jgon.

Answer 3

Editar:

Ve por la respuesta de PhoemueX, él lo resolvió. :)

Sólo una sugerencia

$$f(x,y) :=\begin{cases} \frac{1}{|x-y|} & x\neq y\\ 0 & x=y\end{cases}$$

Idea
Voy a escribir $f(x-y)$ ya que sólo depende de la diferencia. $$f(x-y) \leq g(x) + g(y) \quad \forall x,y$$ equivale a $$f(x) \leq g(x+y) + g(y) \quad \forall x,y$$ lo que equivale a $$f(x) \leq \inf_y\{ g(x+y) + g(y)\} \quad \forall x$$ Así que tal vez $x_n := \frac{1}{n}$ ayudará:

$$n=f(x_n) =\inf_y\left\{ g\left(\frac{1}{n}+y\right) + g(y)\right\} $$

Editar:
lulu lo señaló dos minutos antes, perdí tiempo tratando de conseguir \beginbraces para alinear.