Explícito cálculos de pequeño Deligne-Lusztig variedades (por ejemplo, Drinfeld de la curva)

Question

Antecedentes: Me estoy centrando en $G=GL_{2}(\overline{\mathbb{F_q}})$ aquí. Si te preguntas por qué estoy interesado en esto, estoy tratando de un problema relacionado con la Deligne-Lusztig variedades definidas sobre locales de los anillos por Stasinksi, y este fondo teoría es relevante allí. La definición que estoy usando es este:

1. La primera definición que tengo de Deligne-Lusztig variedades es este: Considerar el Lang mapa de $L(g) = g^{-1} F(g)$. Deje $T$ $F$- estable máxima toro de $G$, e $B$ un Borel subgrupo que contiene $T$ (no necesariamente $F$-estable), y $U$ el unipotentes radical de este Borel subgrupo. A continuación, el Deligne-Lusztig variedad se define como $X = L^{-1}(U)$

Pregunta Más o menos: el Uso de estas definiciones (no estoy seguro exactamente qué medida estas dos definiciones son "compatibles"), ¿cómo puedo calcular explícitamente la Deligne-Lusztig variedad de $GL_{2}(\mathbb{F}_{q})$ a ser el Drinfeldt curva de $xy^{q} - yx^{q} = 1$ en la no-división caso? Más precisamente:

1. Si puedo elegir a un toro que no está en su máximo de split, $T$, y un Borel subgrupo $B$ contiene $T$, después de aplicar la definición de $1$ por encima - ¿cómo nos relacionamos esta variedad para la Drinfeldt curva? Hacemos explícitamente obtener el Drinfeldt de la curva, y si no ¿qué obtenemos? Si no es el Drinfeldt la curva de la que obtenemos con esta definición, ¿cómo podemos expresar esta variedad "muy bien" (con una vista hacia el recuento $F_{q}$ puntos).

2. A grandes rasgos (no explícitamente!) ¿cómo voy a ir haciendo esto por $GL_{3}(\mathbb{F_q})$? Es este computacionalmente factible? Hay trucos que pueden ayudar de manera significativa con la computación? Incluso mejor, hay referencias de que usted sabe qué hacer esto?

3. Entiendo Deligne-Lusztig variedades, y estos tori, corresponden, en cierto sentido, a Weyl de los elementos del grupo. ¿Hay alguna específica Weyl grupo de elementos en $S_n$ para que el Deligne-Lusztig variedad siempre tiene una "buena" / "manejable" descripción, o hacer que salgan de la mano muy rápidamente?

Mis Intentos (1)

(No estoy del todo seguro de cómo escribir las matrices de Látex aquí, así que lo hice crudamente por escrito como $4$ números de la Fila 1, seguido por la Fila 2).
Pick $\alpha, \beta \in F_{q^2}$, por lo que el $(x- \alpha)(x- \beta)$ es irreducible sobre $F_{q}$. A continuación, un unipotentes subgrupo de un Borel subgrupo para un no-split toro por conjugar el ordinario unipotentes subgrupo de estrictamente triangular superior matrices, la matriz $M$ entradas $(1, 1, \alpha, \beta)$. Esto es debido a que podemos obtener la matriz con entradas de $(0, 1, -\alpha \beta, \alpha + \beta)$ (acostado dentro de $GL_{2}(\mathbb{F_q})$ $M^{-1} X M$ donde $X$ es la matriz con entradas de $( \alpha, 0, 0, \beta)$. Desde cuando se conjuga la nilpotent matriz con entradas de $(0, 1, 0, 0)$ $M$ obtenemos un escalar múltiples de la matriz con entradas de $ ( - \alpha, 1, - \alpha^2, \alpha)$, el resultado final de este cálculo es que la nuestra no-split máxima toro consta de matrices de la forma $(1-s \alpha, s, - s \alpha^2, 1 + s \alpha)$.

Ahora si $g = (a,b,c,d)$ (es decir, la matriz con los 4 entradas), entonces $g^{-1} = \frac{1}{ad-bc}( d, -b, -c, a)$, $F(g) = (a^q, b^q, c^q, d^q)$, y $g^{-1} F(g) = \frac{1}{ad-bc} (da^q - bc^q, db^q - bd^q, -ca^q + ac^q, -cb^q + ad^q)$, por lo que la equiparación de la $g^{-1} F(g)$ se encuentra en el subgrupo calculado en el último párrafo da la siguiente descripción de la Deligne-Lusztig variedad (deje $D = ad-bc$), mediante la comparación de la entrada por entrada:

• $ \frac{1}{D} ( da^q - bc^q -cb^q + ad^q ) = 2 $
• $ -ca^q + ac^q = - \alpha^2 (db^q - bd^q) $

Esto podría ser fácil, pero no puedo ver cómo rematar desde aquí: ¿por qué esta relacionado con la Drinfeldt curva? Todo lo que puedo ver en un primer vistazo es que los términos de $db^q - bd^q$ aparece, pero no sé cómo deshacerse de todo lo demás. ¿Cómo puedo simplificar la definición de las ecuaciones de esta variedad (es de esperar que en una adecuada simple versión, por lo que el recuento $F_{q^{k}}$ puntos es sencillo, que es lo que realmente necesitamos hacer).

Answer 1

He encontrado Teruyoshi Yoshida a la exposición del tema de mucha ayuda:

http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yoshida_2003_introDL.pdf

Como JT comentado, la curva que usted escribió es realmente el Deligne-Lusztig variedad de SL_2, no GL_2. Ben es también la derecha sobre la curva se $\mathbf{P}^1 - \mathbf{P}^1(\mathbf{F}_q)$, sólo él está usando una definición diferente de DL variedad de que me iba a suponer. La forma en que Ben tiene, el DL variedad es una subvariedad de G/B, pero la curva que desea es una subvariedad de G/U, donde U es la unipotentes radical. Una formulación es un cover de la otra con grupo de galois igual a los puntos racionales en un giro del toro T. vamos a tomar el G/U punto de vista aquí.

Así que vamos a empezar con $G=\text{SL}_2$ sobre el campo de $\mathbf{F}_q$. Vamos a dejar de $B$ será el habitual Borel y $U$ su unipotentes radical. Podemos entonces identificar a $G/B$$\mathbf{P}^1$$G/U$$\mathbf{A}^2$. El último de identificación envía $(a,b,c,d)$$(a,c)$.

Deje $w=(0,1,1,0)$ ser el trivial Weyl elemento. Dejamos $X_w$ ser la subvariedad de $G/B$ compuesto de elementos $x$ que $x$ $F(x)$ están en la posición relativa $w$ donde $F$ es el Frobenius mapa. Esto es $\mathbf{P}^1 - \mathbf{P}^1(\mathbf{F}_q)$ Ben dice.

Para cosets $x,y\in G/B$ en la posición relativa $w$, y un coset $gU\in G/U$ que $gB=x$, vamos a definir una nueva coset $w_{x,y}(gU)\in G/U$ como sigue. En primer lugar, encontrar una $g'\in G$ que $g'B=x$$g'wB = y$. También podemos tomar $g'$, de modo que $g'U=gU$. (Esto se puede hacer debido a la Bruhat descomposición de $G/B \times G/B$--espera un momento a ver cómo funciona este sistema para $\text{SL}_2$.) A continuación, defina $w_{x,y}(gU) = g'wU$. (Perdón por el abuso de notación el símbolo $w$.) El Deligne-Lusztig variedad $Y_w$ se define como el conjunto de $gU\in G/U$ que $F(gU)=w_{gB,F(gB)}(gU)$.

Cuando se hace un punto de $(x,y)\in\mathbf{A}^2=G/U$ mentira en $Y_w$? Necesitamos calcular el $w_{gB,F(gB)}(gU)$ donde $g=(x,*,y,*)\in G$. Tenemos $gB=g\cdot\infty=x/y$$F(gB)=(x/y)^q$. Así que ahora debemos encontrar$g'\in G$$g'U=gU$$g'wB=F(g)wB$. La primera condición implica que $g'=(x,*,y,*)$ y la segunda significa que $g'\cdot 0=(x/y)^q$. Por lo tanto $g'=(x,ux^q,y,uy^q)$ donde $u$ debe satisfacer $u(xy^q-x^qy)=1$. Nos encontramos con que $w_{gB,F(gB)}(gU)=g'wU=(ux^q,uy^q)$. La condición de que $(x,y)\in Y_w$ es exactamente eso $(x^q,y^q)=(ux^q,uy^q)$, lo que implica que $u^{-1}=x^qy-xy^q=1$. Así que esa es la ecuación para la Deligne-Lusztig variedad.

La ecuación para el DL variedad de los más largos de permutación cíclica en el grupo de Weyl $\text{SL}_n$ $\det(x_i^{q^j})=1$ donde $0\leq i,j\leq n-1$.

Creo Lusztig calcula la zeta funciones de sus variedades en términos muy generales, pero nunca fue capaz de caminar a través de todo. Debe haber una respuesta simple para el comportamiento de las funciones zeta de la $\text{GL}_n$ variedades--si alguna vez escribir yo sin duda me encanta leer! Puedo empezar: para$\text{SL}_2$$\mathbf{F}_q$, el DL curva tiene una forma compacta compatibles $H^1$ de la dimensión de $q(q-1)$, y el $q^2$-potencia Frobenius actúa como la constante de $-q$. (El comportamiento de la $q$-potencia Frobenius podría ser un poco sutil-imagino que tiene que ver con sumas de Gauss.)

Buena suerte!

Answer 2

Hola Vinoth, usted podría estar interesado en los siguientes reciente libro:

"Las representaciones de $SL_2(\mathbb{F_q})$" por Cédric Bonnafé

"Deligne-Lusztig teoría tiene por objeto el estudio de las representaciones de finito reductora grupos por medio de los métodos geométricos, y en particular de l-ádico cohomology. Muchos de los excelentes textos presente, con diferentes objetivos y perspectivas, esta teoría en la configuración general. Este libro se centra en los más pequeños no trivial ejemplo, a saber, el grupo de $SL_2(\mathbb{F_q})$, que no sólo proporcionan la sencillez necesaria para obtener una descripción completa de la teoría, sino también la riqueza necesaria para ilustrar los aspectos más delicados.

El desarrollo de Deligne-Lusztig teoría fue inspirado por Drinfeld ejemplo, en 1974, y Representaciones de $SL_2(\mathbb{F_q})$ es sobre la base de este ejemplo, y se extiende a modular teoría de la representación. Con este fin, el autor hace uso de los resultados fundamentales de la l-ádico cohomology. Con el fin de utilizar eficientemente esta maquinaria, precisa un estudio de las propiedades geométricas de la acción de SL2(Fq) en la curva de Drinfeld se lleva a cabo, con especial atención a la construcción de cocientes por diversos grupos finitos.

Al final del texto, un breve resumen (sin pruebas) de Deligne-Lusztig teoría es dado, así como enlaces a ejemplos se demuestra en el texto. Con la disposición de una introducción suave y varios materiales recientes (por ejemplo, Rouquier del teorema sobre la deriva de las equivalencias geométricas de la naturaleza), este libro será de utilidad para alumnos de grado y postgrado, así como a investigadores y profesores con interés en Deligne-Lusztig la teoría".

Ver http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-85729-156-1

Mejor, Daniel.

Answer 3

Todo esto está en la página de wikipedia para Deligne-Lusztig teoría.

No reconozco a la definición que se le dé, y no veo por qué debe ser equivalente a la que yo conozco. No estoy seguro de que es malo, ya que hay un montón de formas equivalentes de escribir estas cosas, pero seguro que a mí me parece que malinterpretar algo. En su nota, yo diría que el Deligne-Lustig variedad de $w$$L^{-1}(BwB)/B$.

Es decir, es la subvariedad de la bandera variedad $G/B$ donde la posición relativa de las $x$ $F(x)$ es el elemento del grupo de Weyl $w$ que describe su clase conjugacy de toro. En GL(n), el elemento del grupo de Weyl para un toro es la permutación inducida por el peso de su toro a través de una división de campo de la Frobenius (es decir, su ciclo de estructura es la misma que la de los grados que aparecen en la descomposición del polinomio característico de un elemento genérico de su toro de la base de campo). Este es el único bien definido hasta conjugacy, por supuesto, pero si usted elige un Borel así, los valores propios son una orden, y que permutación es clavado.

En su GL(2) ejemplo, la no-división de toro corresponde a la no-trivial de permutación de 2 elementos (desde un genérico de la matriz en este toro ha irreductible polinomio característico). Por lo tanto, la Deligne-Lustig variedad es $\mathbb{P}^1$ menos los puntos definidos en $\mathbb{F}_q$. Este no es el Drinfeld curva, pero el cociente de la misma por el $q+1$st raíces de la unidad (tomando la evidente proyección de$\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$$\mathbb{P}^1$).

Yo no creo que haciendo GL(3) con la mano es intractible; casi ciertamente, uno puede simplemente hacer un poco de combinatoria con banderas $\mathbb{F}_{q^n}$ y hacer algo. Sólo averiguar cómo puede racionalmente las líneas definidas y 2-planos hay, y, a continuación, lo que los elementos de contención aspecto.