Parece que el círculo unidad está muy bien escondido debajo de la gráfica de $\cos x$, tocando solo en (0,1), pero es que lo que verdaderamente está pasando aquí?
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Joe Lencioni
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Para $x\ne0$ tenemos $|\sin x|<|x|$; por lo tanto, para $x\ne0$: $$ \text{dist} \bigl((x,\cos x ), (0,0)\bigr)=\sqrt{x^2+\cos^2x } \gt\sqrt{\sin^2 x+\cos^2 x}=1. $$
La distancia desde un punto en la gráfica de $y=\cos x$ al origen es estrictamente mayor que 1 para $x\ne0$ y, por lo tanto, cualquier punto en la gráfica de $y=\cos x$ se encuentra fuera del círculo unidad, excepto para el punto de $(0,1)$.
BradS
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Sí.
El círculo unidad puede ser representado en forma paramétrica como $$\begin{align} x &= \sin(t) \\ y &= \cos(t) \end{align}$$ y la curva coseno como $$\begin{align} x &= t \\ y &= \cos(t) \end{align}$$ (Nota: la parametrización dada aquí de la unidad de círculo es inusual, pero le dará el mismo círculo.)
Ahora, la pregunta se convierte en uno trata de resolver un sistema de ecuaciones, a saber: $$\begin{align} \sin(t) &= t \\ \cos(t) &= \cos(t) \end{align}$$ El segundo siempre será verdad, por lo que es sólo el primero de ellos en méritos de resolución. Hay una solución en $t=0$, pero eso no significa que no hay otros. El hecho de que $\sin(x) < x \;\, \forall x > 0$ significa que esta es la única solución. Por lo tanto, la curva coseno toca el círculo unidad en exactamente un lugar: $(0,1)$.
Añadido: Dustan Levenstein hecho un buen punto de que yo no era una garantía de que tengo todos los puntos de intersección. También es posible: $$\begin{align} t &\neq s \\ \sin(t) &= s \\ \cos(t) &= \cos(s) \end{align}$$ La sustitución de da $$\cos(t) = \cos(\sin(t))$$ En este punto, $t$ puede ser restringido a $0 \leq t \leq 1$ porque $\sin(t) \leq 1 \;\, \forall t$ $\sin(t)$ es simétrica sobre el eje. Ahora que $t$ está restringido a ese rango, tomar el coseno inverso de ambos lados. $$t = \sin(t)$$ Como esto ya ha sido demostrado ser verdadera sólo cuando $t=0$, ahora puedo garantizar que $(0,1)$ es el único punto de intersección de una curva coseno y del círculo unidad.
El poco acercamiento de fuerza bruta funciona de forma rápida. No hay simetría entre el $y$-eje, por lo que podemos asumir que $x\ge 0$. Queremos mostrar que para $0<x \le 1$ tenemos $\cos x > \sqrt{1-x^2}$, o, equivalentemente, $\cos^2 x > 1-x^2$ o, equivalentemente, $1-\cos^2 x < x^2$ o, equivalentemente,$\sin^2 x < x^2$. Pero esta última desigualdad es probablemente familiar, tal vez en la forma $0\le \frac{\sin x}{x}< 1$ si $x\ne 0$.
DiGi
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Vamos $$f(x)=\cos x-\sqrt{1-x^2}$$ for $-1<x<1$; then $$f\,'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}-\sin x\;.$$ Now $$\frac2{\sqrt{1-x^2}}\ge 2\;,$$ with equality only at $x=0$, and for $0\le x<1$ we have $\sin x \le x$ with equality only at $x=0$, so for $0\le x<1$ we have $$f\,'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}-\sin x\ge 2x-x=x\;,$$ with equality only at $x=0$. In particular, $f\,'(x)>0$ for $0<x<1$. Since $f(0)=0$, and $f$ is increasing on $(0,1)$, it follows that $\cos x>\sqrt{1-x^2}$ for $0<x<1$, and symmetry of both functions across the $s$-axis shows that $(0,1)$ es, de hecho, el único punto en el que los dos se cruzan.
