Demostrando que $x^m+x^{-m}$ es un polinomio en $x+x^{-1}$ de grado $m$ .

Question

Tengo que demostrar que $x^m+x^{-m}$ es un polinomio en $x+x^{-1}$ de grado $m$ .

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Demostrar que $$x^m+x^{-m}=P_m (x+x^{-1} )=a_m (x+x^{-1} )^m+a_{m-1} (x+x^{-1} )^{m-1}+\cdots+a_1 (x+x^{-1} )+a_0$$ sobre la inducción en $m$ .

1. $m=1$ ;
2. $m=k$ ;
3. $n=k+1$ . Que $$x^{k+1}+x^{-k-1}=(x+x^{-1} )^{k+1} + (x+x^{-1} )^{k}+ (x+x^{-1} )^{k-1}+\cdots+(x+x^{-1} ).$$

Me he atascado en el paso 3. ¿Cómo demostrar esta expresión?

Answer 1

Dejemos que $y=x+x^{-1}$ . Demostramos con fuerte inducción que si $n$ es un número entero no negativo, entonces $x^n+x^{-n}$ es un polinomio de grado $n$ en $y$ . Es fácil comprobar que el resultado es válido para $n=0$ y $n=1$ . Ahora demostramos que si el resultado es válido para todo $n\le k$ entonces el resultado es válido para $n=k+1$ .

Tenemos $$x^{k+1}+x^{-(k+1)}=(x^k+x^{-k})(x+x^{-1})-(x^{k-1}+x^{-(k-1)}).\tag{1}$$ Por la hipótesis de la inducción, $x^k+x^{-k}$ es un polinomio de grado $k$ en $y$ . Así que $(x^k+x^{-k})(x+x^{-1})$ es un polinomio de grado $k+1$ en $y$ . También por la hipótesis de inducción, $x^{k-1}+x^{-(k-1)}$ es un polinomio de grado $k-1$ en $y$ . De (1) se deduce que $x^{k+1}+x^{-(k+1)}$ es un polinomio de grado $k+1$ en $y$ .

Answer 2

$$\cos m \theta = T_m(\cos \theta)$$ con $T_m$ el Polinomio de Chebyshev de primera clase, por lo que, tomando $x = e^{i\theta}$ $$x^{m} + x^{-m} = P_m(x+ x^{-1})$$ donde $P_m(t) = 2 T_m(\frac{t}{2})$ . Por ejemplo $$x^{12} + x^{-12}= P_{12}(x+x^{-1})$$ donde $P_{12}(t) = t^{12}-12 t^{10}+54 t^8-112 t^6+105 t^4-36 t^2+2$ .