Estabilidad de la rotación de un prisma rectangular

Question

He notado algo curioso sobre la rotación de un prisma rectangular. Si cojo una caja con altura $\neq$ ancho $\neq$ profundidad y la lanzo al aire alrededor de diferentes ejes de rotación, algunos movimientos parecen más estables que otros. Los 3 ejes que mejor ilustran lo que quiero decir son:

(1) A través del centro de masa, paralelo al borde más largo de la caja.

(2) A través del centro de masa, paralelo al borde más corto de la caja.

(3) A través del centro de masa, paralelo al borde restante de la caja.

Es "fácil" hacer que la caja gire limpiamente alrededor de (1) y (2), pero lanzar la caja alrededor de (3) normalmente resulta en un torsión adicional además de la rotación alrededor de (3) que intento lograr (obviamente, una lanzamiento "perfecto" de mi parte evitaría esa torsión, por eso lo llamo una inestabilidad). Si no estás seguro de lo que estoy hablando, coge una caja o un libro con 3 longitudes de lado diferentes y pruébalo (pero ten cuidado de no romper nada!).

¿Qué es especial acerca del eje (3)?

Imagen tomada de Marsden and Ratiu.

Answer 1

El prisma rectangular es un cuerpo rígido. Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa están dadas por: (Por favor, ver por ejemplo: Marsden y Ratiu , (página 6).

$$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$$ $$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$$ $$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$$

Donde $\Omega_1,_2,_3$ son las componentes de velocidad angular alrededor de los ejes del cuerpo y $I_1,_2,_3$ son los momentos de inercia correspondientes.

Dado que los momentos de inercia son diferentes, podemos asumir sin pérdida de generalidad que: $I_1>I_2>I_3$.

El hecho es que el movimiento constante alrededor del eje intermedio $2$ no es estable, mientras que alrededor de los otros dos ejes, el movimiento es estable. Este hecho está explicado por Marsden y Ratiu en la página 30. Además, varias otras explicaciones se dan en las respuestas de una pregunta relacionada en mathoverflow. Aquí describiré los detalles de un análisis de estabilidad linearizado.

Un estado estacionario en el cual el vector de velocidad angular tiene solo una componente constante distinta de cero es una solución de las ecuaciones de movimiento.

Por ejemplo:

$$\Omega_1=\Omega = const.$$ $$\Omega_2=0$$ $$\Omega_3=0$$

Es una solución que describe la rotación alrededor del primer eje. Además

$$\Omega_1=0$$ $$\Omega_2=\Omega = const.$$ $$\Omega_3=0$$

También es una solución que describe la rotación alrededor del segundo eje.

Ahora, podemos analizar la estabilidad de pequeñas perturbaciones alrededor de estas soluciones. Una perturbación de la primera solución está dada por:

$$\Omega_1=\Omega + \epsilon \omega_1$$ $$\Omega_2=\epsilon \omega_2$$ $$\Omega_3=\epsilon \omega_3$$

Con $\epsilon<<1$. Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento y manteniendo solo los términos hasta el primer poder de $\epsilon$, obtenemos:

$$I_2\dot\omega_2=\epsilon \Omega(I_3-I_1)\omega_3$$ $$I_3\dot\omega_3=\epsilon \Omega(I_1-I_2)\omega_2$$

Tomando la primera derivada de la segunda ecuación con respecto al tiempo y sustituyendo la segunda ecuación, obtenemos:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_3-I_1)(I_1-I_2)\omega_3$$

Dado que $I_3I_2$, el coeficiente del lado derecho es negativo y la perturbación satisface una ecuación de movimiento del oscilador armónico de la forma:

$$\ddot\omega_3 + k^2 \omega_3 =0$$

Repitiendo el análisis de la perturbación para la segunda solución (rotación alrededor del segundo eje) obtenemos:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_2-I_3)(I_1-I_2)\omega_3$$

Dado que $I_3I_2$, este coeficiente es ahora negativo y la solución describe un oscilador armónico con una constante elástica negativa de la forma:

$$\ddot\omega_3 - k^2 \omega_3 =0$$

Lo cual es una perturbación inestable.

Answer 2

La inestabilidad inherente al eje de longitud media o $\prod_2 $ como se muestra arriba se discute en detalle en Marsden y Ratiu que es de donde procede la imagen.

La órbita homoclínica inestable que conecta los dos puntos inestables tiene características interesantes. No sólo son interesantes por las soluciones caóticas a través del método de Poincare-Melnikov que se pueden obtener en varios sistemas perturbados (ref), pero ya, La órbita en sí misma es interesante, ya que un cuerpo rígido lanzado alrededor de su eje medio sufrirá un interesante (e inesperado) medio giro cuando se alcance el punto opuesto de la silla de montar, aunque el eje de rotación haya vuelto a donde estaba.

La interesante media vuelta se muestra mejor en el " Efecto Dzhanibekov " y también se puede ver en el " teorema de la raqueta de tenis ."

Para aquellos que no entienden por qué el punto de la silla de montar a lo largo del eje de longitud media $\prod_2 $ en la imagen anterior es inestable considere la siguiente imagen:

Fuente de la imagen

Los tres ejes que describes son comparables respectivamente:

1. ~ una varilla/eje
2. ~ una rueda volante
3. ~ una hélice

¿Qué es la estabilidad y por qué dos ejes son estables y el tercero inestable?

La estabilidad se refiere a una oscilación "estable", que debe ser armónica como una masa sobre un muelle. Existe una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento.

$$F=-k*x=m*a=m*\frac{d^2x}{dt^2}~~~~\text{(1)}$$ Para las situaciones angulares, la situación se complica mucho más, ya que el par es normal al plano de rotación. $$\tau =-\kappa \theta=I*\dot{\omega}=I*\frac{d^2\theta}{dt^2} ~~~~\text{(2)}$$

Cuando hay una fuerza fuera del eje en torno a un eje estable, hay dos componentes de par: una a lo largo del eje primario que siempre provocará una rotación lineal y una segunda perpendicular al eje (en torno a uno o a los dos ejes restantes), que en ausencia de la rotación primaria (o con una distribución uniforme de la masa) también provocaría una rotación lineal. Por lo tanto, siempre hay dos pares, el primario grande y el segundo pequeño. En las oscilaciones armónicas estables, al igual que en los ejes de rotación estables, existe una fuerza de restauración proporcional al desplazamiento. Richard Feynman ha realizado un trabajo fascinante para describir una placa oscilante que se tambalea el doble de veces que gira.

Dejemos que $\hat{x}_1$ , $\hat{x}_2$ y $\hat{x}_3$ son los ejes a lo largo de los ejes más largo, medio y corto del prisma rectangular, respectivamente. Durante la rotación estable (que se produce cuando el giro primario es sobre $\hat{x}_1$ y $\hat{x}_3$ ) los ejes secundarios trazan círculos como lo describió Feynman .

Realizar un análisis de un prisma rectangular según el método descrito por Feynman mostrará sin duda que la rotación sobre $\hat{x}_2$ crea un espiral en lugar de un círculo.

La espiral se produce

Imagina que un disco que gira sobre su eje es muy estable: la diferencia entre los momentos de inercia sobre los otros dos ejes es cero: es muy estable. Ahora sustituye el disco "O" por una estructura en forma de "X" que gira sobre un eje normal al plano de la X. La rotación vuelve a ser estable por la misma razón. Corta dos brazos de la X en lados opuestos y la barra recta sigue girando con oscilaciones estables. Ahora añade un cable a lo largo del eje de rotación pero que sobresalga de un solo lado de la varilla. De repente tienes el Efecto Dzhanibekov que es inestable como añadir anchura a la varilla a lo largo del eje de rotación para formar una forma comparable a un prisma rectangular. En el caso del alambre sigue siendo desconcertante, pero creo que proporciona una idea de la naturaleza del problema. Especialmente si se tiene en cuenta que una peonza (disco giratorio con un alambre atravesado asimétricamente) es muy estable, al igual que una peonza en forma de X.... mientras que una peonza en forma de hélice ni siquiera es una peonza realmente. Tomemos una peonza en forma de O que gire en gravedad cero y hagamos que salgan volando trozos del disco en forma de casi medio círculo para que se convierta en una hélice. Ahora el momento de inercia en torno al eje de la "pala" de la hélice en rotación (el eje de mayor longitud) se reduce enormemente y, al mismo tiempo, la fuerza giroscópica se reduce drásticamente. Tiene sentido que este eje (el más largo) se convierta en "un eje de rotación libre" en un grado u otro... con las fuerzas giroscópicas o centrífugas de la "hoja" giratoria que se suman y luego se restan al eje a medida que gira hacia adelante y hacia atrás en el Efecto Dzhanibekov . La diferencia entre la longitud del eje de longitud media $\prod_2 $ y el eje más corto $\prod_1 $ cumple la misma función que el eje del objeto tipo hélice en el efecto Dzhanibekov: concretamente da y toma energía centrípeta del eje primario de rotación $\prod_2 $ representado por el punto de silla de montar.

Además, fíjate en cómo una peonza cuando se frena empieza a precesar en círculos cada vez más grandes hasta que se cae. ¿Se trata simplemente de una precesión giroscópica? ¿O es el primer signo de una oscilación inestable comparable al trazado en espiral del eje en el efecto Dzhanibekov? Yo especularía que es un poco de ambas cosas: la parte superior probablemente no es un disco perfecto y una vez que comienza el bamboleo la precesión giroscópica probablemente se suma a él.

Podría añadir que una parte superior en forma de Y (separada 60 grados) tiene algunas propiedades particularmente fascinantes, ya que tiene similitudes tanto con una caja como con una hélice, pero sigue siendo una parte superior porque la simetría radial permite que las fuerzas giroscópicas estabilicen el eje de longitud media. Como señala Ben Crowell en los comentarios, este efecto se explica con hermosos detalles intuitivos Aquí en la sección 4.3.3, cuyo enlace directo al pdf es aquí . He copiado la explicación allí como sigue:

Para un objeto típico y asimétrico, el vector momento angular y el vector velocidad angular no tienen por qué ser paralelos. Es decir, sólo para un cuerpo que posee simetría sobre el eje de rotación es cierto que $L=I\omega$ (el equivalente rotacional de $p=mv$ ) para algún escalar I.... (derivación elegante de:) $$ K=\frac 12 L\cdot \omega$$ .... Analicemos el problema de la zapatilla giratoria que planteé al principio del capítulo. Los tres ejes de rotación (comparables a los de un prisma rectangular) a los que me refería allí son aproximadamente los ejes principales de la zapatilla. Mientras el zapato está en el aire, no actúan sobre él pares externos, por lo que su vector momento angular debe ser constante. Sin embargo, eso es en el marco de referencia de la habitación. El marco de referencia del eje principal está unido al zapato, y da vueltas como un loco junto con él. En el marco del eje principal, la energía cinética y la magnitud del momento angular permanecen constantes, pero la dirección real del momento angular no tiene por qué permanecer fija (como has visto en el caso de la rotación que inicialmente giraba en torno al eje de longitud intermedia). Constante $|L|$ da $$ {L_x}^2+ {L_y}^2+ {L_z}^2=constant $$ En el marco del eje principal, es fácil resolver los componentes de $\omega$ en términos de los componentes de L, por lo que eliminamos $\omega$ de la expresión $2K=L\cdot \omega$ , dando $$ \frac{1}{I_xx}{L_x}^2 + \frac{1}{I_yy}{L_y}^2+ \frac{1}{I_zz}{L_z}^2=constant \# 2$$

La primera ecuación es la ecuación de una esfera en el espacio tridimensional ocupado por el vector del momento angular, mientras que la segunda es la ecuación de un elipsoide:

La figura superior corresponde al caso de rotación alrededor del eje más corto, que tiene el mayor momento de inercia del elemento. La intersección de las dos superficies está formada únicamente por los dos puntos situados en la parte delantera y trasera de la esfera. El momento angular está confinado en uno de estos puntos, y no puede cambiar su dirección, es decir, su orientación con respecto al sistema de ejes principales, que es otra forma de decir que el zapato no puede cambiar su orientación con respecto al vector del momento angular. En la figura inferior, la zapatilla está girando alrededor del eje mayor. Ahora el vector de momento angular está atrapado en uno de los dos puntos de la derecha o de la izquierda. Sin embargo, en el caso de la rotación alrededor del eje con el elemento de momento de inercia intermedio, la intersección de la esfera y el elipsoide no es sólo un par de puntos aislados, sino la curva que se muestra con la línea discontinua. La orientación relativa de la zapata y del vector de momento angular puede cambiar y lo hará.

Una de las aplicaciones del tensor de momento de inercia es la de los videojuegos que simulan carreras de coches o el vuelo de aviones....

Un ejemplo más exótico tiene que ver con la física nuclear. Aunque probablemente haya visualizado los núcleos atómicos como nada más que puntos sin rasgos, o quizás pequeñas esferas, a menudo son elipsoides con un eje largo y dos más cortos e iguales. Aunque un núcleo que gira normalmente se deshace de su momento angular a través de la emisión de rayos gamma en un periodo de tiempo del orden de los picosegundos, puede ocurrir que un núcleo deformado entre en un estado en el que un gran momento angular se encuentre a lo largo de su eje largo, lo que constituye un modo de rotación muy estable. Estos estados pueden vivir durante segundos o incluso años. (Hay más cosas en la historia -este es el tema sobre el que escribí mi tesis doctoral-, pero la idea básica se aplica aunque el tratamiento completo requiere una mecánica cuántica de lujo).

Nuestro análisis ha supuesto hasta ahora que la energía cinética de la energía de rotación no puede convertirse en otras formas de energía como el calor, el sonido o la vibración. Cuando esta suposición falla, entonces la rotación sobre el eje de menor momento de inercia se vuelve inestable, y acabará convirtiéndose en rotación sobre el eje cuyo momento de inercia sea mayor. Esto le ocurrió al primer satélite artificial de Estados Unidos, el Explorer i, lanzado en 1958. Obsérvense las largas antenas flexibles, que tendían a disipar la energía cinética en vibraciones. Había sido diseñado para girar en torno a su eje de inercia de mínimo momento, pero casi inmediatamente, en cuanto estuvo en el espacio, empezó a girar de un lado a otro. No obstante, pudo llevar a cabo su misión científica, que no dependía de la capacidad de mantener una orientación estable, y descubrió los cinturones de radiación de Van Allen.

Una pregunta relacionada aquí en Physics.SE
Una pregunta relacionada en MathOverflow

Answer 3

Estudié este problema hace 20 años en un curso de mecánica clásica, y mi recuerdo es que cuando resuelves las ecuaciones de movimiento, obtienes un componente exponencial imaginario que describe el movimiento para cada eje.

Sin embargo, en el caso del eje intermedio, obtienes una multiplicación de dos números imaginarios en la exponencial, lo que luego te da un número real en la exponencial y en lugar de un movimiento sinusoidal, comienza a ser puramente exponencial.

Por supuesto, esto no lleva a un movimiento exponencial real ya que no hay nada que lo sostenga de la misma manera que la inercia sostiene la rotación por un tiempo en las otras dos direcciones, pero se vuelve rápidamente inestable como resultado.

Intuitivamente, nunca logré entender por qué debería volverse inestable esto más allá de las matemáticas. Y supongo que de la misma manera, es difícil llegar a entender intuitivamente algo en la mecánica cuántica, nunca realmente lo intenté...

Answer 4

Supongo que, en términos sencillos, esto se puede describir solo usando el momento de inercia y el centro de masa. En el ejemplo (a), el libro se sostendría con el eje de rotación en posición horizontal, produciendo un momento de inercia bajo en otros ejes porque es muy estrecho en esta dirección. Esto minimizaría la rotación alrededor de un eje diferente y el libro solo rotaría alrededor del eje 1.

En el ejemplo (b), ocurre lo contrario. El momento de inercia es mayor, sin embargo, como el libro es más ancho en esa dirección, es más fácil colocar los dedos más cerca del eje dirigido hacia el centro de masa, produciendo menos torque en otras direcciones.

El ejemplo (c) presentaría un problema, porque la menor desviación del centro podría crear torque en otras direcciones. Supongo que esto se debe a que tu mano es grande en comparación con el ancho del libro y casi siempre estará descentrada del eje central. Incluso con manos más pequeñas, seguiría siendo difícil porque cada sección transversal tendría mucho peso debido a la longitud, y al angulación del libro crearía un desequilibrio de torque.

Esa es mi interpretación de este problema sin usar matemáticas de nivel de postgrado y está abierta a desacuerdos.