Como usuario i7071707 señaló en un comentario, esta pregunta ya se ha preguntado y ha recibido allí una respuesta correcta, basada en este documento de Paco Lagerstrom (1945). Sólo estoy publicando esta respuesta porque las preguntas con una recompensa abierta no pueden ser marcadas como duplicadas.
He aquí un rápido esquema de la prueba citada. Ver $F^n$ como $F[X]$ -mediante la acción de $~A$ (así $Xv=A\cdot v$ ) se descompone por el teorema de la estructura como una suma directa finita de módulos $M_i$ , cada una cíclica por lo que existe $v_i\in M_i$ que lo genera, y tal que los polinomios mínimos $P_i$ de $~v_i$ (el generador del ideal de $F[X]$ actuando como $~0$ en $~v_i$ y, por tanto, en $~M_i$ ) son divisibles por cualquier $P_j$ con $j>i$ (esto es contrario al orden habitual; hace que $P_1$ el polinomio mínimo (global) de $~A$ ).
Elementos de $C(A)$ son precisamente los endomorfos de este $F[X]$ -módulo; los llamaré $A$ -y llamamos a los elementos de $C(C(A))$ central $A$ -endomorfismos. La descomposición en $F^n$ como una suma directa de submódulos $M_i$ no es canónico, por lo que el $M_i$ no tiene por qué ser estable en todos los $A$ -endomorfismos (de hecho $M_1$ no es estable bajo el $A$ -endomorfismo $f$ más abajo). Sin embargo, dado que las proyecciones sobre el $M_i$ según la descomposición de la suma directa son particulares $A$ -endomorfismos, cualquier central $A$ -endomorfismo $~\zeta$ debe estabilizar los eigenspaces de estas proyecciones, y por tanto cada $~M_i$ . Entonces $\zeta$ está completamente determinada por las imágenes $\zeta(v_i)\in M_i$ .
Pero $\zeta$ está de hecho completamente determinada por la imagen única $\zeta(v_1)\in M_1$ . Para ver este arreglo $k>1$ . Hay para cada $~i$ un único $F[X]$ -mapa del módulo $F[X]\to M_i$ enviando $X\mapsto v_i$ con el núcleo $(P_i)$ y como $(P_k)$ contiene $~P_1$ el mapa $F[X]\to M_k$ pasa al cociente para dar un $F[X]$ -mapa del módulo $f:M_1\to M_k$ que por construcción satisface $f(v_1)=v_k$ . Ampliar $f$ a un $A$ -endomorfismo poniéndolo a cero en $\bigoplus_{i>1}M_i$ . Entonces $\zeta(v_k)=\zeta(f(v_1))=f(\zeta(v_1))$ porque $\zeta$ es una central $A$ -y esto está determinado por $\zeta(v_1)$ como se prometió.
Por último, dado que $M_1$ es cíclico existe $P\in F[X]$ con $\zeta(v_1)=P[A]\cdot v_1$ . De lo anterior se deduce que $\zeta(v_i)=P[A]\cdot v_i$ para todos $~i$ y por lo tanto $\zeta=P[A]$ .
