Las dimensiones de los espacios vectoriales en una secuencia exacta

Question

He leído la siguiente fórmula en la wikipedia:

Dado finito dimensionales espacios vectoriales $V_i$ y una secuencia exacta $\cdots\rightarrow V_i\rightarrow V_{i+1}\rightarrow\cdots$, tenemos

$$ \sum_{n\in 2\mathbb{Z}}\dim V_n = \sum_{n\in 2\mathbb{Z}+1}\dim V_n $$

Hay un nombre para este teorema? Podría alguien por favor decirme donde encontrar una prueba de esto en la literatura?

Gracias!

Answer 1

Vamos a demostrar la versión de la declaración en la entrada de la Wikipedia:

Si $ 0 \to V_1 \to V_2 \cdots \to V_r\to 0$ es una secuencia exacta de finito dimensionales espacios vectoriales, a continuación, $$\sum_{i=1}^{r} (-1)^i \dim V_i=0.$$

Deje $f_0$ ser el primer mapa de la secuencia, $f_i$ ser el mapa de$V_i$$V_{i+1}$, etc. Por el Rango de Nulidad teorema, tenemos $\dim V_i = \dim\ker f_i + \dim \operatorname{im} f_i.$, con Lo que el lado izquierdo es

$$\sum_{i=1}^{r} (-1)^i \dim\ker V_i+\sum_{i=1}^{r} (-1)^i \dim\operatorname{im} V_i.$$

Ahora por la definición de la propiedad de una secuencia exacta, $\operatorname{im} f_i = \ker f_{i+1}.$ Colocar esa información en una de las sumas, y las dos sumas, a continuación, cancelar.

Tenga en cuenta que para que la serie en cuestión a converger, la secuencia debe ser de la forma en que esta respuesta, tal vez con $0$ s.