La serie de $\sum \frac{1}{n^2\sin^3n}$

Question

Pregunta : Mostrar que la serie de $\sum \cfrac{1}{n^{2}\sin^{3}n}$ es divergente.

Sugerencia:

Mostrar que $$\sum \frac{1}{n|\sin(n)|}$$ es divergente.

Estoy interesado en otras posibles pruebas para esta pregunta.

Answer 1

Desde $\pi$ es irracional, por Hurwitz del teorema, hay infinitamente muchos pares de relativa primer enteros $(n,m)$ tal que

$$\left|\pi \frac{n}{m}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}{m^2}} \quad\implica\quad|n - m\pi| < \frac{1}{\sqrt{5}m}$$ Podemos suponer tanto $n, m > 0$ y para cualquier par, tenemos $$|\pecado n | = |\sin(n-m\pi)| < \sin\frac{1}{\sqrt{5}m} < \frac{1}{\sqrt{5}m} = \frac{1}{\sqrt{5}n}\left( \pi + ( \frac{n}{m} - \pi )\right) < \frac{1}{\sqrt{5}n}\left( \pi + 1\right) \\ \implica \frac{1}{n^2 |\pecado n|^3} > \left(\frac{\sqrt{5}}{\pi+1}\right)^3 n$$ Esto significa que la secuencia de $\displaystyle\;\frac{1}{n^2\sin^{3}n}\;$ no concurre $0$ y, por tanto, la serie diverge.