Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden

Question

Hay dos ecuaciones diferenciales que no he podido resolver. ¿Puede alguien ayudarme a resolverlas? $$ (x^2+y^2)y′′-y(y^{′})^3+xy′-y=0 $$ y $$ xy^2y′′+2y^2y′-4xy(y^{′})^2+2x^2(y^{′})^3=0, $$ donde $y=y(x)$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

$$xy^2y′′+2y^2y′-4xy(y')^2+2x^2(y')^3=0$$ Obviamente $y=x$ es una solución particular. Por lo tanto, dejemos que $y(x)=x\:z(x)$

$y'=z+xz'$ y $y''=2z'+xz''$ que ponemos en la ODE. Después de la simplificación : $$xz^2z''+2x^2(z')^3+2xz(z')^2+2z^2z'=0$$ Dado que la EDO es homogénea con respecto a $z, z',z''$ , dejemos que $z(x)=e^{g(x)}$

$z'=e^g g'$ y $z''=e^g (g''+g'^2)$ que ponemos en la ODE. Después de la simplificación : $$xg''+2x^2(g')^3+3x(g')^2+2g'=0$$ La EDO se reduce a una EDO de primer orden con $G(x)=g'$ $$xG'+2x^2G^3+3xG^2+2G=0$$ Observamos que la EDO es homogénea en el caso particular de la forma $G=\frac{a}{x}$ . Buscando una solución particular, determinamos $a=-\frac{1}{2}$ . Así que una solución particular es $G=-\frac{1}{2x}$ . Esto nos lleva al cambio de función:

$G(x)=H(x)-\frac{1}{2x}$ que ponemos en la ODE. Después de la simplificación : $$2xH'+4x^2H^3+H=0$$ La nueva EDO es del tipo Bernoulli. Gracias al método clásico de resolución de las ecuaciones de Bernoulli, esto conduce a : $$H=\frac{1}{\sqrt{4x^2+cx}}$$ $$G=H-\frac{1}{2x}=\frac{1}{\sqrt{4x^2+cx}}-\frac{1}{2x}=\frac{dg}{dx}$$ Después de la integración : $$g=\frac{1}{2}\ln(4\sqrt{4x^2+cx}+8x+c)-\frac{1}{2}\ln(x)+constant$$ $$z=e^g=C \sqrt{\frac{4\sqrt{4x^2+cx}+8x+c}{x}}$$ $$y=xz=C \sqrt{4x\sqrt{x(4x+c)}+8x^2+cx}=C\sqrt{\left(\sqrt{x(4x+c)}+2x\right)^2}$$ $$y=C\left(\sqrt{x(4x+c)}+2x\right)$$ o, con constantes $a,b$ : $$y=a\left(\sqrt{x(x+b)}+x\right)$$

Answer 2

Una pista:

Para $(x^2+y^2)y''-y(y')^3+xy'-y=0$ ,

Dejemos que $x=e^t$ ,

Entonces $t=\ln x$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dt}=e^{-t}\dfrac{dy}{dt}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(e^{-t}\dfrac{dy}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(e^{-t}\dfrac{dy}{dt}\right)\dfrac{dt}{dx}=\left(e^{-t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{dy}{dt}\right)e^{-t}=e^{-2t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-2t}\dfrac{dy}{dt}$

$\therefore(e^{2t}+y^2)\left(e^{-2t}\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-2t}\dfrac{dy}{dt}\right)-y\left(e^{-t}\dfrac{dy}{dt}\right)^3+\dfrac{dy}{dt}-y=0$

$(1+e^{-2t}y^2)\dfrac{d^2y}{dt^2}-(1+e^{-2t}y^2)\dfrac{dy}{dt}-e^{-3t}y\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^3+\dfrac{dy}{dt}-y=0$

$(e^{-2t}y^2+1)\dfrac{d^2y}{dt^2}-e^{-2t}y^2\dfrac{dy}{dt}-e^{-3t}y\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^3-y=0$

Dejemos que $y=e^tu$ ,

Entonces $\dfrac{dy}{dt}=e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu$

$\dfrac{d^2y}{dt^2}=e^t\dfrac{d^2u}{dt^2}+e^t\dfrac{du}{dt}+e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu=e^t\dfrac{d^2u}{dt^2}+2e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu$

$\therefore(u^2+1)\left(e^t\dfrac{d^2u}{dt^2}+2e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu\right)-u^2\left(e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu\right)-e^{-2t}u\left(e^t\dfrac{du}{dt}+e^tu\right)^3-e^tu=0$

$e^t(u^2+1)\left(\dfrac{d^2u}{dt^2}+2\dfrac{du}{dt}+u\right)-e^tu^2\left(\dfrac{du}{dt}+u\right)-e^tu\left(\dfrac{du}{dt}+u\right)^3-e^tu=0$

$(u^2+1)\left(\dfrac{d^2u}{dt^2}+2\dfrac{du}{dt}+u\right)-u^2\left(\dfrac{du}{dt}+u\right)-u\left(\dfrac{du}{dt}+u\right)^3-u=0$

$(u^2+1)\dfrac{d^2u}{dt^2}+(u^2+2)\dfrac{du}{dt}-u\left(\dfrac{du}{dt}+u\right)^3=0$

Dejemos que $v=\dfrac{du}{dt}$ ,

Entonces $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{du}\dfrac{du}{dt}=v\dfrac{dv}{du}$

$\therefore(u^2+1)v\dfrac{dv}{du}+(u^2+2)v-u(v+u)^3=0$