Continua funcional de la ecuación

Question

Problema. Encontrar todas las funciones continuas $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que para todos los $x \in \mathbb{R}$, $$f(1-x) = 1 - f(f(x)).$$

He obtenido ese $f(x) = f(f(f(f(x))))$ todos los $x \in \mathbb{R}$, pero no puede ir más allá. Para ver esto, sustituimos $x = f(f(y))$ para obtener $$ f(1-f(f(y))) = 1-f(f(f(f(y)))) \\ \implica f(f(1-y)) = 1-f(f(f(f(y)))) \\ \implica 1-f(y) = 1-f(f(f(f(y)))) \\ \implica f(y) = f(f(f(f(y)))). $$ Supongo que las únicas soluciones son $f(x) = x$$f(x) = 1/2$. ¿Alguien tiene una prueba?

Edit: puedo demostrar que si $f$ es continua y $f(f(f(x))) = x$ todos los $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = x$ es la única solución. Pero la condición aquí es ligeramente más débil que el, y por eso $f(x) = 1/2$ también funciona. Pero, ¿es posible la adaptación de la prueba?

Answer 1

Primera nota: Hay otros (continua pero no polinomio) soluciones. Por ejemplo, $$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if $x < 0$} \\ x & \text{if $0 \leq x \leq 1$} \\ 1 & \text{if $x > 1$} \end{cases}$$

De manera más general: El de la clase de funciones que son iguales a la identidad en el intervalo de $[\frac{1}{2}-a,\frac{1}{2}+a]$ $0 \leq a \leq \infty$ y constante (con el respectivo valor de $\frac{1}{2}-a$ o $\frac{1}{2}+a$) fuera de ese intervalo. Así que los dos se encuentran son los casos extremos de esta clase, y su único polinomio.

Estoy bastante seguro de que estas son todas las soluciones. Me gustaría probar algo a lo largo de estas líneas: Vamos a $R$ ser el rango de $f$. A partir de su identidad $ffff = f$ sigue que $fff(x) = x$ todos los $x \in R$. Ahora vamos a $\bar f$ ser la restricción de $f$$R$. Dado que el$\bar f \bar f \bar f = id$$R$, se puede demostrar que los $\bar f$ es bijective. También, por la continuidad y el teorema del valor intermedio, $R$ debe estar conectado (es decir, si $a<b<c$$a,c \in R$$b \in R$). Esto puede ser usado para mostrar que $\bar f$ es la identidad en $R$ (utilizando, por ejemplo, que cada continuo bijection en un intervalo es monótona). Ahora uso el original de la funcional de la ecuación para mostrar que si $M = \sup(R)$$m = \inf(R) = 1 - M$, $M,m \in R$ y que para todos los $x>M$ tenemos $f(x)=f(M)=M$ (este último puede ser demostrado por la contradicción). Del mismo modo, si $x<m$,$f(x)=f(m)=m$.

Answer 2

poner $f(x)=bnx^{an}+b_{n-1}x^{an-1}+・・・+b_1$

a continuación,$x^{an}=x^k$, sobre el grado máximo del polinomio. Esta es la estrategia fundamental acerca de estos tipo de problema.

$f(1-x)=(1-x)^k=1-x^{k^2}$

$x^k=x^{k^2}$

$k=k^2$

$k=1,0$

a continuación, poner $f(x)=ax+b$

$-ax+a+b=1-a(ax+b)-b$

$(a^2-a)x+(ab+a+2b-1)=0$

$a=0 b=\frac12 a=1,b=0$

$f(x)=\frac12$ o $x$