Condición para el aumento en el óptimo de una función general

Question

Para una función de $f(x,y)$ con las siguientes propiedades:

• $f(x,y)$ es estrictamente creciente en función de $x$
• $f(x,y)$ es estrictamente decreciente en función de $y$
• $\lim_{x\to\infty}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0$
• $\lim_{y\to\infty}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0$

Estoy estudiando el óptimo de $\frac{f(x,y)}{x}$ con respecto al $x$, denotado $x_0$:

$$ Q=\frac{\partial f (x,y)/x)}{\partial x}\bigg|_{x=x_0}=0. $$

Asumiendo $x_0$ es un óptimo, que deseo estudiar cómo $x_0$ cambios como $y$ cambios, y llego a la siguiente

$$ \frac{dx_0}{dy}=-\frac{\partial Q/ \partial y}{\partial Q/ \partial x_0}. $$

Dado que el $x_0$ es óptimo, el denominador de lo anterior será negativo y, por tanto, el signo de $\frac{dx_0}{dy}$ será el mismo que el signo de $\frac{\partial Q}{\partial y}$. Y tenemos las siguientes

$$ sgn\bigg(\frac{\partial Q}{\partial y}\bigg)=sgn\bigg(x_0\frac{\partial (\partial f(x_0,y)/\partial x_0)}{\partial y}-\frac{\partial f(x_0,y)}{\partial y}\bigg). $$

Podemos decir que el siguiente va a ser siempre verdadera?

$$ \frac{\partial Q}{\partial y}\neq 0 $$

En otras palabras, si $y$ cambios, el óptimo $x_0$ debe cambiar también.

Si no, ¿se puede decir algo acerca de los casos en los que esto no va a ser verdad? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Supongo que el óptimo $x^*$ usted está buscando corresponde a un problema de maximización:

$$x^* = \arg\max_x \frac{ f(x,y) }{ x } = \arg\max_x[ \log f(x,y) - \log x]$$

Observe que la segunda igualdad es verdadera desde la toma de $\log$ preserva la $\arg \max$.

El análisis que está tratando de hacer por la definición de la función $Q$ fue realizado por El Topkis teorema (http://en.wikipedia.org/wiki/Topkis%27s_theorem) establece las condiciones para la monotonía de la $\arg \max$ con respecto al parámetro de $y$. En orden para el óptimo $x^*$ a aumentar con la $y$, tenemos que la cantidad en el interior de la $\arg \max$ es supermodular con respecto a $x$ $y$ (http://en.wikipedia.org/wiki/Supermodular_function).

Esto significa que para todos los $x_1 \le x_2$ $y_1 \le y_2$ debemos tener: $$\log f(x_1,y_1) + \log f(x_2,y_2) \ge \log f(x_2,y_1) + \log f(x_1,y_2)$$ que es lo mismo que: $$\frac { f(x_2,y_1) } {f(x_2,y_2)} \le \frac { f(x_1,y_1) } {f(x_1,y_2)}$$

Esto significa que las relaciones de $\frac { f(x,y_1) } {f(x,y_2)}$ son la disminución de la con $x$. Una formulación alternativa al $f$ es diferenciable es: $$\frac {\partial \log f(x,y) } {\partial x \partial y} \ge 0 \rightarrow f_{1,2}(x,y) f(x,y) \ge f_1(x,y) f_2(x,y)$$ Las condiciones que dieron parecen no implica nada sobre la verdad de la desigualdad anterior, pero no podía construir un contraejemplo porque yo no podía entender lo que los dos límites implica. También, es un poco claro cuál es el dominio que desea $f$ a definirse. Puesto que usted está dividiendo $x$, que es lo que $x$ tiene que ser mayor que $0$, o también necesita $f(0,y) = 0$?

Yo sugiero que busque en Topkis teorema y ver si usted puede aplicar a su problema.