Sé que en infinidad de campos, tales como la $\mathbb{C}$, la asignación de $e^x$ es un homomorphism de los aditivos de grupo para el grupo multiplicativo, y me preguntaba si en cualquier campo finito, existe una (no trivial) homomorphism entre los dos.
Respuestas
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Esto es imposible para un finito campos.
Considere la posibilidad de un campo finito de orden $q$; luego el aditivo grupo también tiene orden de $q$. Sin embargo, el grupo multiplicativo tiene orden de $q - 1$ que no comparten factores comunes con $q$. Desde el fin de la imagen de un elemento $x$ bajo un homomorphism debe dividir el orden de $x$ por Lagrange del teorema se sigue que cualquier homomorphism debe ser trivial.
James Woolfenden
Puntos
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A veces hay un homomorphism desde el grupo aditivo de los enteros modulo N-1 y el grupo multiplicativo de los números enteros modulo N.
Por ejemplo, cuando N=5, dado que el aditivo grupo de cuatro enteros A = {0,1,2,3} y el campo finito M = {0,1,2,3,4}, podemos asignar cada elemento a de a de un elemento correspondiente m desde el grupo multiplicativo de M con m = 2^un mod 5.
Con estos grupos, siempre que z = x + y modulo (N-1),
también es cierto que 2^z mod N = 2^x * 2^y modulo N.
(donde adición, multiplicación, exponentation, modulo, etc. son comunes a operaciones con números enteros).
Esto se cumple cuando N es un Fermat prime. (Esto está relacionado con el "invertable multiplicación", también llamado "la multiplicación de la IDEA de estilo", utilizado en la IDEA de cifrado).
Sospecho que hay otras asignaciones que trabajar para otros destacados valores de N.
(El aditivo grupo de cuatro enteros A = {0,1,2,3} no es exactamente el mismo que el campo finito de cuatro elementos de GF(4), pero ambos tienen 4 elementos, así que quizás esto es a lo que está buscando.)
