¿Cómo encontrar $\int\frac{\sin x}{x}dx$?

Question

¿Cómo integro $$\int\frac{\sin(x)}xdx$$? Intenté usar integración por partes, pero no me llevó a ninguna parte. Por favor ayuda.

Answer 1

La función $f(x)=\sin(x)/x$ no tiene una antiderivada elemental, es decir, no existe una fórmula para su integral (usando cocientes de polinomios, funciones trigonométricas, logaritmos, exponenciales, es decir, las funciones habituales que se estudian en cálculo).

La integración simbólica es la parte del cálculo que se encarga de encontrar antiderivadas. Existe un algoritmo bastante sofisticado debido a Risch e implementarlo muestra que no hay una fórmula agradable para $\displaystyle \int\frac{\sin(x)}x dx$. El algoritmo es lo suficientemente elaborado que aparentemente ningún paquete de software actualmente puede encontrar antiderivadas para todas las funciones para las cuales es posible. La página de Wikipedia a la que he enlazado tiene referencias al artículo original (y agradable).

Hace unos años, Matthew Wiener publicó una explicación bastante legible del algoritmo en sci.math; aquí hay un pdf de la publicación.

Para una completa exposición de las matemáticas involucradas, recomiendo encarecidamente el libro de Manuel Bronstein, "Integración simbólica 1 (funciones trascendentes)" (2da ed.), 1997, Springer-Verlag.

Ahora, no todo son malas noticias aquí: Uno puede integrar término por término la serie de potencias para la expresión de $\sin(x)/x$ y obtener la serie de potencias de su antiderivada (que converge en todas partes), y existen métodos numéricos para aproximar muy decentemente esta función. Finalmente, se puede calcular explícitamente (por ejemplo, usando métodos de análisis complejo) que $$ \int_0^\infty\frac{\sin(x)}x dx=\frac{\pi}2. $$

Answer 2

Si le preguntas a Wolfram Alpha, te dirá que la integral es $\text{Si}(x)+C$. Si le preguntas qué es $\text{Si}(x)$, te dirá, entre otras cosas, que $$\text{Si}(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{t}dt$$ ¡No muy útil! Pero se puede obtener alguna información de toda esta falta de ayuda.

Si hubiera una expresión para tu integral en términos de funciones elementales, Wolfram Alpha, que es realmente bastante bueno, muy probablemente produciría dicha expresión. Y de hecho se puede demostrar que no existe tal expresión.

Pero la integral que deseas aparece naturalmente en una serie de aplicaciones, por ejemplo en óptica. Por lo tanto, es conveniente tener un nombre para ella, y $\text{Si}(x)$ es, hasta donde sé, el único en uso común.

Algunas integrales definidas que involucran $\sin(x)/x$ se pueden evaluar explícitamente, pero por supuesto no mediante la técnica habitual de encontrar una integral indefinida y luego sustituir.

No hay nada particularmente misterioso acerca de una función dada por una fórmula simple no tener una integral indefinida dada por una combinación de funciones elementales. De hecho, la mayoría de las funciones elementales no tienen una primitiva elemental.

Answer 3

No hay integral indefinida que pueda escribirse en funciones elementales. Sin embargo, como a veces sucede, la integral definida en ciertos puntos finales es conocida; ver:

¿Cómo evaluar la integral $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} \ dx = \frac{\pi}{2}$?

Answer 4

Tienes que usar otros métodos, como introducir una variable ficticia y luego diferenciar con respecto a esta variable: $$I(a)=\int\frac{\sin(x)e^{ax}}{x}dx$$ aunque estos solo funcionan para integrales definidas, una integral como esta sin límites probablemente no se pueda definir a menos que se llame $\text{Si}(x)$